【 講義情報 】

２０２５年５月２０日更新． index に戻る．
pdf ファイルを読むには， アドビのアクロバットリーダー(無料でダウンロード可能)が必要です．
２０２５年度１学期
● 幾何学1　北海道教育大学授業資料 火曜3コマ目(13:00~14:30)
幾何学1　第６回講義ノート(5/20) 　 幾何学1　第６回講義ノート（訂正・補足版） 　 幾何学1　第６回演習プリント解答例
幾何学1　第５回講義ノート(5/13) 　 幾何学1　第５回演習プリント解答例
幾何学1　第４回講義ノート(5/9) 　 幾何学1　第４回演習プリント解答例
幾何学1の第４回授業は，５月９日（金）の3コマ目です．よろしくお願いします．
幾何学1　第３回講義ノート(4/30) 　 幾何学1　第３回演習プリント解答例
幾何学1の第３回授業は，４月３０日（水）の3コマ目です．よろしくお願いします．
幾何学1　第２回講義ノート(4/22) 　 幾何学1　第２回講義ノート（訂正版： 2ページ目を修正） 　 幾何学1　第２回演習プリント解答例 　
幾何学1　第１回講義ノート(4/15) 　 幾何学1　第１回演習プリント解答例 　
演習プリントは確認後，数回分をまとめて授業中に返却します．よろしくお願いします．
● 幾何学3　北海道教育大学授業資料 木曜3コマ目(13:00~14:30)
幾何学3　第５回講義ノート(5/22) 　
幾何学3　第４回講義ノート(5/15) 　 幾何学3　第４回演習プリント解答例 　
5月8日(木)は月曜日の授業をする日です．幾何学3の次回は５月１５日（木3）です．よろしくお願いします． 　
幾何学3　第３回講義ノート(5/1) 　 幾何学3　第３回講義ノート(5, 6ページを修正) 　 幾何学3　第３回演習プリント解答例
幾何学3　第２回講義ノート(4/24) 　 幾何学3　第２回演習プリント解答例
幾何学3　第１回講義ノート(4/17) 　 幾何学3　第１回演習プリント解答例
演習プリントは確認後，数回分をまとめて授業中に返却します．よろしくお願いします．
















２０２０年度２学期
● 基礎数学 B
２０２０年度１学期
● 線形代数学 I
● モース理論入門
２０１９年度２学期
● 基礎数学 B 演習
２０１９年度１学期
● 線形代数学 I
● 微分積分学 I
２０１８年度２学期
● 線形代数学 II （全学教育科目）１年３１組３２組　
ベクトル空間，線形写像，固有値，内積などを学びます． 月曜日２コマ目(10:30-12:00)開講です．
教科書は，石川他著「線形写像と固有値」，共立出版，です．

● ミルナー「モース理論」を読む．Reading of Milnor's "Morse Theory" （幾何学続論，幾何学講義，Geometry）

４年・大学院講義．火曜日２コマ目(10:30-12:00)開講です．講義内容の予定 (Rough plan of the lecture)

ガイダンス，ミルナー「モース理論」の構成を概観した後， 大雑把に，次の流れで（ときどき脱線をしながら）解説を行っていく：
第IV部 リー群と対称空間への応用，極小測地線全体の多様体，ユニタリー群に対する Bott周期定理，直交群に対する周期定理，
第III部 測地線に応用された変分学，滑らかな多様体上の道の空間，道のエネルギー，臨界道におけるエネルギー関数のヘッシアン，Jacobi場，指標定理，道の空間全体の位相，
第II部 リーマン幾何への速成コース，共変微分，曲率テンソル，測地線と完備性，
第I部 多様体上の退化せぬ滑らかな関数，序，定義と補助定理，臨界点によって言い表されるホコトピー型，例，モースの不等式，ユークリッド空間の中の多様体，超平面による切断面に関する Lefschetzの定理．
さらに，その後，改めて，
第 III部，滑らかな多様体上の道の空間，道のエネルギー，臨界道におけるエネルギー関数のヘッシアン，指標定理，道の空間全体の位相，Jacobi場，指標定理，有限次元への近侍，道の空間全体の位相，非共役点の存在，位相と曲率の間の幾つかの関係，
第 IV部，対称空間，対称空間としてのリー群，極小測地線全体の多様体，ユニタリー群に対する Bott周期定理，直交群に対する周期定理，
という具合に，ミルナーによる名講義「モース理論」を巡り味わい尽くす．
２０１８年度１学期
● 線形代数学 I （全学教育科目）１年２１組２３組
行列，ベクトル，連立一次方程式と行列式などの線形代数の基礎の一般論を学びます． 金曜日３コマ目(13:00-14:30)開講です．
教科書は，泉屋他著「行列と連立一次方程式」，共立出版，です．
● 科学・技術の世界・数学のたのしみ
４年・大学院講義．火曜日１コマ目開講です．担当日は4月10日，4月17日，4月24日，5月1日です． トポロジーの話をします．
● 基礎数学演習A (木３，木４)
２年・専門講義の演習です． この演習科目の目的は， 基礎数学A の講義内容におおよそ沿って線形代数学の基本的事項を確認し馴染みながら， 推論力・計算力をより向上させ，構想力・説明力をより身につけていく ことです． まず，全学の線形代数学I，線形代数学II の内容の復習をしながら，徐々に高い立場から線 形代数の基本的事項を検討していくことを心がけます．（山下達也先生と一緒に担当します．）
２０１７年度２学期 ● 線形代数学 II （全学教育科目）１年４４組４６組　
ベクトル空間，線形写像，固有値，内積などを学びます． 月曜日４コマ目(14:45-16:15)開講です．
教科書は，石川他著「線形写像と固有値」，共立出版，です．
● ダブル・ファイブレーションの幾何学 （幾何学続論，幾何学講義）
４年・大学院講義．月曜日２コマ目(10:30-12:00)開講です．
２０１７年度１学期
● 線形代数学 I （全学教育科目）１年４５組４６組
行列，ベクトル，連立一次方程式と行列式などの線形代数の基礎の一般論を学びます． 月曜日４コマ目(14:45-16:15)開講です．
教科書は，泉屋他著「行列と連立一次方程式」，共立出版，です．
● 線形代数学 I （全学教育科目）１年３２組３４組
行列，ベクトル，連立一次方程式と行列式などの線形代数の基礎の一般論を学びます． 水曜日３コマ目(13:00-14:30)開講です．
教科書は，泉屋他著「行列と連立一次方程式」，共立出版，です．
他に，科学技術の世界（数学のたのしみ）などを担当します．
２０１６年度２学期
● 線形代数学 II （全学教育科目）１年１９組２１組
ベクトル空間，線形写像，固有値，内積などを学びます． 火曜日３コマ目(13:00-14:30)開講です．
教科書は，石川他著「線形写像と固有値」，共立出版，です．
● 幾何学 A（専門科目）
多様体の入門を行います．この講義は，いわば，Advanced Vector Calculus であり， 多様体の考え方を身につけ，多様体の概念に基づいて，多様体上のベクトル場や微分形式に慣れ，使いこなせるようになることを目標とします．金曜日２コマ目(10:30-12:00)開講です．
● 幾何学演習（専門演習科目）
幾何学A，幾何学Bの講義と並行して，幾何学の演習を行います． 木曜日３，４コマ目です．
２０１６年度１学期
● 線形代数学 I （全学教育科目）１年３２組３４組
行列，ベクトル，連立一次方程式と行列式などの線形代数の基礎の一般論を学びます． 水曜日３コマ目(13:00-14:30)開講です．
教科書は，泉屋他著「行列と連立一次方程式」，共立出版，です．
● 線形代数学 I （全学教育科目）１年１６組１９組
行列，ベクトル，連立一次方程式と行列式などの線形代数の基礎の一般論を学びます． 金曜日３コマ目(13:00-14:30)開講です．
教科書は，泉屋他著「行列と連立一次方程式」，共立出版，です．
２０１５年度２学期
● 基礎数学 B（専門科目）
集合と位相の講義です．
数学の基礎的な力を身につけること，身につけた力を再確認すること，が講義の目的です．
水曜日２コマ目と金曜日２コマ目の週２回の講義です．
部屋は水曜日，金曜日ともに理学部５号館 5-201 です．
テキストは，神保・本多著「位相空間」，数学書房，です．
●講義ガイダンス 資料 　
● 期末テスト，休講案内 　
● 中間テスト，休講案内 　
● 毎週水曜日３コマ目（１３：１５頃〜１４：３０）にディスカッションルームにて基礎数学Bのオフィスアワーを設けています． TAの山下さんが（都合がつけば私(石川)も）講義内容に関する質問や，講義演習問題，補充問題， レポート問題に関する質問などに応じるので，気軽に訪れてください．
●講義補充問題
その3，その4 　 「その３，その４」の解説 　 その1，その２ 　 「その1，その２」の解説 　
☆ 補充問題２０，補充問題２１（その１，その２の中）に訂正があります．
☆ 補充問題２０は，そのまま， レポート問題4-3として載せたので，レポート問題4-3もそれにしたがって問題文を修正してください．（指摘してくれた方々，感謝します．）
●講義レポート問題
解説No.1 　 解説No.2 　 解説No.3 　 解説No.4 　 解説No.5 　 解説No.6 　 解説No.7 　 解説No.8 　
●講義演習プリント（出席確認） No.1解答例 　 No.2解答例 　 No.3解答例 　 No.4解答例 　 No.5解答例 　
演習5-2 の解答例の補足として講義中に説明した全単射の証明に誤りがありました．上の解答例に修正版を掲載しています．
No.6解答例 　 No.7解答例 　 No.8解答例 　 No.9解答例 　 No.10解答例 　 No.11解答例 　 No.12解答例 　 No.13解答例 　 No.14欠番（中間テストのため演習プリントなし）
No.15解答例 　 No.16解答例 　 No.17解答例 　 No.18解答例 　 No.19解答例 　 No.20解答例 　 No.21解答例 　 No.22解答例 　 No.23解答例 　 No.24解答例 　 No.25解答例 　 No.26解答例 　 No.27欠番（期末テストのため演習プリントなし）
２０１５年度１学期
● 線形代数学 I （全学教育科目）１年１６組１９組
行列，ベクトル，連立一次方程式と行列式などの線形代数の基礎の一般論を学びます． 金曜日３コマ目(13:00-14:30)開講です．
教科書は，泉屋他著「行列と連立一次方程式」，共立出版，です．
● 幾何学続論・幾何学講義（４年生・大学院生対象の講義）
題目：「曲線と曲面の幾何学的特異点 --- 分類と認識」
曲線や曲面の特異点をテーマとする．この授業を通して，微分幾何と解析幾何に現れる特異曲線や特異曲面に関する基本的事項と関連する話題について学ぶ．まず，写像の特異点論の基本を学んだ後，関連する微分幾何と解析幾何の知識を身につける．特に，外微分式系に関する概念を学び，特徴的な特異曲面，フロント，フロンタルの分類問題，認識問題について理解を深める．さらに，有限解析的写像で表される特異曲面を統一的に把握する理論から現代幾何学の一端に触れる．
木曜日４コマ目(14:45--16:15)開講です．
● トポロジー入門（大学院共通授業，トポロジー理工学特別講義 I（科学とトポロジー））
２０１５年４月１０日（金）５講目16：30‐18：00
於：北海道大学理学部2号館2階2--211大学院講義室
講義資料 　

２０１４年度２学期
● 線形代数学 II （全学教育科目）１年３１組３３組
ベクトル空間，線形写像，固有値，内積などを学びます． 月曜日２コマ目(10:30-12:00)開講です．
教科書は，石川他著「線形写像と固有値」，共立出版，です．
● 幾何学 A（専門科目）
多様体の入門を行います．この講義は，いわば，Advanced Vector Calculus であり， 多様体の考え方を身につけ，多様体の概念に基づいて，多様体上のベクトル場や微分形式に慣れ，使いこなせるようになることを目標とします．金曜日２コマ目(10:30-12:00)開講です．
２０１４年度１学期
● 線形代数学 I （全学教育科目）１年３８組３５組
行列，ベクトル，連立一次方程式と行列式などの線形代数の基礎の一般論を学びます． 月曜日２コマ目(10:30-12:00)開講です．
教科書は，泉屋他著「行列と連立一次方程式」，共立出版，です．
● 線形代数学 I （全学教育科目）１年３３組３２組
行列，ベクトル，連立一次方程式と行列式などの線形代数の基礎の一般論を学びます． 水曜日３コマ目(13:00-14:30)開講です．
教科書は，泉屋他著「行列と連立一次方程式」，共立出版，です
● トポロジー入門（大学院共通授業，トポロジー理工学特別講義 I（科学とトポロジー））
２０１４年４月１１日（金）５講目16：30‐18：00
於：北海道大学理学部2号館2階2--211大学院講義室
講義資料 　
２０１３年度２学期
● 線形代数学 I （全学教育科目）１年文系クラス
行列，ベクトル，連立一次方程式と行列式などの線形代数の基礎の一般論を学びます． 火曜日１コマ目(8:45-10:15)開講です．
教科書は，泉屋他著「行列と連立一次方程式」，共立出版，です．
● 幾何学 A（専門科目）
多様体の入門を行います．この講義は，いわば，Advanced Vector Calculus であり， 多様体の考え方を身につけ，多様体の概念に基づいて，多様体上のベクトル場や微分形式に慣れ，使いこなせるようになることを目標とします．金曜日２コマ目(10:30-12:00)開講です．
講義ガイダンス資料 　
２０１３年度１学期
● 線形代数学 I （全学教育科目）１年３８組３５組
行列，ベクトル，連立一次方程式と行列式などの線形代数の基礎の一般論を学びます． 月曜日２コマ目(10:30-12:00)開講です．
教科書は，泉屋他著「行列と連立一次方程式」，共立出版，です．
● 線形代数学 I （全学教育科目）１年２４組２１組
行列，ベクトル，連立一次方程式と行列式などの線形代数の基礎の一般論を学びます． 金曜日３コマ目(13:00-14:30)開講です．
教科書は，泉屋他著「行列と連立一次方程式」，共立出版，です
２０１２年度２学期
● 線形代数学 II （全学教育科目）１年３８組４０組
ベクトル空間，線形写像，固有値，内積などを学びます． 月曜日４コマ目(14:45-16:15)開講です．
教科書は，石川他著「線形写像と固有値」，共立出版，です．
● 一般教育演習 （全学教育科目）「ろんりと集合」
数学や日常生活で役に立つ，最低限の記号論理「ろんり」と 数学の基礎になる「集合」について，一緒にテキストを読み，練習問題を解いてゆきます．
火曜日５コマ目(16:30-18:00)開講です．
教科書は，中内伸光著「ろんりと集合」，日本評論社，です
● 幾何学続論 （学部専門科目）「多様体続論」
初回のオーバービューの後，Euclid 空間上の微分形式，多様体上の微分形式，微分形式の積分， 基本的な外積代数やホモロジー代数， などなどの内容をじっくり準備していきながら，目標の「 de Rham の定理」とその周辺についての理解を深め， 現代幾何学の典型例に接することにより， 皆さんの数学に関する見識・能力をますます高める機会にしたいと思います．
火曜日２コマ目(10:30-12:00)開講です．
参考書としては以下のものを挙げておきます：
幾何学 III　微分形式 / 坪井 俊 : 東京大学出版会, 2008, ISBN:4130629565
幾何学 I　多様体入門 / 坪井　俊 : 東京大学出版会, 2005, ISBN:4-13-062954-9
多変数解析学--古典理論への現代的アプローチ / スピヴァック : 東京図書, 1972, ISBN:4-489-01190-3
位相幾何学---ホモロジー論 / 中岡　稔 : 共立出版, 1970, ISBN:4-320-01132-5
Lecture Notes on Elemetary Topology and Geometry / I.M.Singer, J.A.Thorp : Springer-Verlag, 1967, ISBN:3-540-90202-3
Differential Forms in Algebraic Topology / R.Bott, L.W.Tu : Springer-Verlag, 1995, ISBN:0387906134
２０１２年度１学期
● 線形代数学 I （全学教育科目）１年３８組３５組
行列，ベクトル，連立一次方程式と行列式などの線形代数の基礎の一般論を学びます． 月曜日２コマ目(10:30-12:00)開講です．
教科書は，泉屋他著「行列と連立一次方程式」，共立出版，です．
● 線形代数学 I （全学教育科目）１年２４組２１組
行列，ベクトル，連立一次方程式と行列式などの線形代数の基礎の一般論を学びます． 金曜日３コマ目(13:00-14:30)開講です．
教科書は，泉屋他著「行列と連立一次方程式」，共立出版，です
２０１１年度２学期
● 微分積分学 II（全学教育科目）１年２５組２７組（２７組は学生番号末尾が偶数の人）対象
微分積分学のうち，積分，重積分について講義します． 火曜日３コマ目(13:00--14:30)開講です．
教科書は，三宅敏恒著 「入門微分積分」培風館 です．
● 幾何学特論・幾何学講義（４年生・大学院生対象の講義）
題目：写像の特異点の分類・双対性・応用
特異点論，特に，特異点の分類の話をします．
木曜日２コマ目(10:30--12:00)開講です．
２０１１年度１学期
● 微分積分学 I（全学教育科目）１年２７組３０組（３０組は学生番号下２ケタを４で割って余り１の人）対象
微分積分学のうち，微分，偏微分について講義します． 月曜日２コマ目(10:30--12:00)開講です．
教科書は，三宅敏恒著 「入門微分積分」培風館 です．
● 入門微分積分学 （全学教育科目）主に文系学部，一部理系対象
高校数学と大学数学の橋渡しをして， 引き続き，「微分積分学I」「微分積分学 II」と学んでいくための基礎・ウォーミングアップとなる科目が 「入門微分積分学」です． 月曜日５コマ目(16:30--18:00)開講です．
教科書は，岡本 和夫 著：「微分と積分」実教出版 です．
２０１０年度２学期
● 線形代数学 II （全学教育科目）１年２６組
ベクトル空間と線形写像などの線形代数の基礎の一般論を学びます． 水曜日３コマ目(13:00-14:30)開講です．
教科書は，石川他著「線形写像と固有値」，共立出版，です．
● 幾何学続論（多様体続論）（専門科目）
多様体上の微分形式と，ドラーム・コホモロジーを学びます． 多様体論とホモロジー論で学んだ知識・アイディアを生かして， 現代数学の面白さを表す典型的な例を１つ経験する，ということを目標とします．
教科書は使いません．プリントも配布しません．出席は取ります． 講義の進み具合によっては，このページに参考資料を掲載するかもしれません．
２０１０年度１学期
● 線形代数学 I （全学教育科目）１年２６組
行列，ベクトル，連立一次方程式と行列式などの線形代数の基礎の一般論を学びます． 月曜日２コマ目(10:30-12:00)開講です．
教科書は，泉屋他著「行列と連立一次方程式」，共立出版，です．
● 科学技術の世界（入門線形代数学）文系科目
大学での線形代数を学ぶための基礎・動機付けとして， ２次の行列，ベクトル，一次変換，平面図形などを学びます． 月曜日５コマ目(16:30-18:00)開講です．
教科書は，泉屋周一著「初級線形代数」共立出版，です．
２００９年度２学期
● 線形代数学 II （全学教育科目）１年１５組
ベクトル空間と線形写像などの線形代数の基礎の一般論を学びます． 火曜曜日３コマ目(13:00-14:30)開講です．
教科書は，石川他著「線形写像と固有値」，共立出版，です．
講義ガイダンス資料 　
質問書回答： 1 　 2 　
● 線形代数学 I （全学教育科目）文系クラス
行列，ベクトル，連立一次方程式と行列式などの線形代数の基礎の一般論を学びます． 火曜日１コマ目(8:45-10:15)開講です．
教科書は，泉屋他著「行列と連立一次方程式」，共立出版，です．
講義ガイダンス資料 　
質問書回答： 1 　 2 　
● 幾何学 A（専門科目）
多様体の入門を行います．この講義は，いわば，Advanced Vector Calculus であり， 多様体の考え方を身につけ，多様体の概念に基づいて，多様体上のベクトル場や微分形式に慣れ，使いこなせるようになることを目標とします．
講義ガイダンス資料 　
● 幾何学演習（専門演習科目）
幾何学A，幾何学Bの講義と並行して，幾何学の演習を行います．
２００９年度１学期
● 線形代数学 I （全学教育科目）１年１５組
行列，ベクトル，連立一次方程式と行列式などの線形代数の基礎の一般論を学びます． 水曜日３コマ目(13:00-14:30)開講です．
教科書は，泉屋他著「行列と連立一次方程式」，共立出版，です
講義ガイダンス資料 　
演習プリント： 1 　 2 　 3 　 4 　 5 　 6 　 7 　 8 　 9 　 10 　
質問書回答： 1 　 2 　 3 　
２００８年度２学期
● 基礎数学 B（専門科目）
集合と位相の講義です．数学的な基礎力を身につけていきます．
●講義ガイダンス 資料 　
●レポート問題とその解説： 1 　 1の解説 　 2 　 2の解説 　 3 　 3の解説 　 4 　 4の解説 　 5 　 5の解説 　 6 　 6の解説 　 補充問題１ 　 7 　 7の解説 　 8 　 8の解説 　 9 　 9の解説 　 10 　 10の解説 　 補充問題２ 　
● 基礎数学演習 B（専門演習科目）
基礎数学B（集合と位相）の講義に関連する問題を解いていきます．
● 幾何学 A（専門科目）
多様体の入門を行います．この講義は，いわば，Advanced Vector Calculus であり， 多様体の考え方を身につけ，多様体の概念に基づいて，多様体上のベクトル場や微分形式に慣れ，使いこなせるようになることを目標とします．
●講義ガイダンス 資料 　
●レポート問題： 1 　 2 　 3 　 補充問題１ 　 4 　 5 　 補充問題２ 　
●補足プリント（リーマン計量，微分形式） pdf 　
● 幾何学演習（専門演習科目）
幾何学A，幾何学Bの講義と並行して，幾何学の演習を行います．
２００８年度１学期
● 線形代数学 II（全学教育科目）

教科書は，三宅敏恒著「入門線形代数」，培風館，です
火曜日５コマ目です．
●講義ガイダンス 資料 　
●質問書回答： 1 　 2 　 3 　
●演習プリント： 1 　 2 　 3 　 4 　 5 　 6 　 7 　 8 　
２００６年度２学期
● 微分積分学 II（全学教育科目）

微分積分学のうち，積分，重積分について講義します．
教科書は，上見練太郎他著：「積分」，共立出版，です．
火曜日３コマ目です．１０月３日から開講です．

２００６年度１学期
● 微分積分学 I（全学教育科目）

微分積分学のうち，微分，偏微分について講義します．
教科書は，上見練太郎他著：「微分」，共立出版，です．
月曜日２コマ目です．４月１７日から開講です．
講義ガイダンス資料 　
質問書回答： 1 　 2 　
小テスト： 1 　 2 　 3 　 4 　 5 　 6 　 7 　 8 　 9 　 10 　
演習プリント： 1 　 ２ 　 ３ 　 ４ 　 5 　 6 　 7 　 8 　 9 　
● 幾何学２，幾何学２講究（専門科目）

水曜日２コマ目です．４月１２日から開講します．
位相幾何学の基礎を講義します．
教科書は，
クゼ・コスニオフスキ著，加藤十吉編訳「トポロジー入門」東京大学出版会
です．
プリントを配付予定です．
小テスト： 1 　 2 　 3 　 4 　 5 　 6 　 7 　 8 　 9 　
質問書回答： 1 　 2 　
講義内容プリント 　
「位相幾何」（大学院共通科目）

応用位相幾何学 I，４月１４日（金）５コマ目です．
応用位相幾何学 II，６月２日（金）５コマ目です．
応用を見据えたトポロジーの数学的基礎を説明します．
講義資料 　
● 過去の講義資料
● 問答集 (いままでの質問と回答(１９９９〜．pdf ファイル)を集めたページです)．
● 数理とはなんだろうか？ (pdf)
　　「あわてるな，数理は急に分からない． 数学は徐々に，学ぶものなり」
　　「数学の理論とかけて鞄(かばん)と解く．そのこころは， "ほころび"があると困ります．大きな鞄，小さな鞄を用途に応じて使い分けます．素材やデザインも気になります． ブランド物が好きな人もいます」 (旧原稿中の"穴"を"ほころび"に変え，わかりやすくしました．また，「ブランド物」の鞄にたとえることにより，数学理論の発展様式に関する観察を添えました)．
　　(２００３年４月２０日大滝セミナーハウスでの講演のOHP原稿の一部)．
● 数学を賛美する (いやあ，数学とは本当にすばらしいものですね！)
大切なのは，「選択する能力」と「挑戦する能力」
頭のフタが開く．風通しが良くなる．風邪をひく． 免疫ができて丈夫になる．
index に戻る．
© Goo Ishikawa