第11回数学総合若手研究集会

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解析
幾何
数理
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解析

川本昌紀 (Masaki KAWAMOTO) 神戸大学理学研究科数学専攻
外場中のクラインーゴルドン方程式の解の存在と伝播評価: クラインーゴルドン方程式についての散乱理論の研究では(Gerard' 12　など)クライン空間と呼ばれる正値行列で重み付けしたヒルベルト空間上で考察する手法があるが、簡単なポテンシャルを印加する事で、この正値性が崩壊し考察が難しくなる。そこで、Hill方程式と呼ばれる方程式の解析手法を用いてこの困難を避ける手法を説明する。時間があれば解の伝播評価についても説明したい。
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米山泰祐 (Taisuke YONEYAMA) 東京理科大学大学院理学研究科数学専攻
波束変換を用いた散乱理論の展開: 時間に依存する短距離型ポテンシャルをもつシュレディンガー方程式の散乱理論について考察する。この場合の波動作用素の存在はD. R. Yafaev(1978)により示されているが、波束変換という変換を用いて別証明を行う。この講演では波束変換の諸性質について説明を行い、それを用いた波動作用素の存在証明を紹介する。
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可香谷隆 (Takashi KAGAYA) 北海道大学大学院理学院数学専攻
自由境界の外力項付き曲率流方程式に対する解の挙動と最大存在時刻: 本研究では、物理的状態が異なる3つの物質が混じり合わずに共存し、それらの3つの界面が交わった部分で表面張力が働いている状況での相境界の運動を記述するモデルを扱う。外力がない場合の解の挙動は既に考察されているが、外力項を付け加えたことによってどのように解の挙動に影響するかを考察する。
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劉暁静 (Xiaojing LIU) 茨城大学理工学研究科宇宙地球システム専攻
Remarks on the strong maximum principle involving p-Laplacian: Let $\Omega$ be a bounded domain of $\bf R^N\, $ $ (N\ge 1)$. In this article,we shall study the strong maximum principle for the following operator; $$ -\Delta_p + a(x) Q(\cdot).$$Here $1<p<\infty$, $ 0\le a\in L^1(\Omega)$, $\Delta_p$ is a $p$-Laplacian and $Q(\cdot)$ is a nonlinear term satisfying the conditions $\bf[Q_0]$ and $\bf[Q_1]$. Let $p^* =\max(1,p-1)$ and let $u$ be a measurable function on $\Omega$, $u\ge 0 \mbox{ a.e. in } \Omega$ such that $ u \in L^{1}(\Omega)$, $Q(u)\in L^1(\Omega)$, $|\nabla u|\in L^{p^*}_{loc}(\Omega) $ and $\Delta_p u$ is a Radon measure on $\Omega$. In addition, we assume that $-\Delta_p u + a(x) Q(u)\ge 0 \text{ in } \Omega$ in the following sense: $\int_E \Delta_p u\,dx \le \int_Ea Q(u)\,dx $ (for every Borel set $ E \subset \Omega$). Then we prove that if $\tilde{u} =0 $ on a set of positive $p-$capacity in$\Omega$, then $ u=0$ a.e. in $\Omega$. Here $\tilde u$ is a quasicontinuous representative of $u$. We also see the sharpness of the condition $\bf[Q_1]$ by constructing counter-examples.
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大澤進 (Susumu OSAWA) 北海道大学大学院理学院数学専攻
Quantum Estimation Theory of Quantum Statistical Mechanics: 講演は欠席されました。
We construct the estimation theory of canonical ensembles in which density operators are described by $\rho= (\mathrm{Tr}e^{-\beta\tilde{H} })^{-1} e^{-\beta\tilde{H}}$, where $\beta$ denotes inverse temperature, $\tilde{H}$ the Hamiltonian of the canonical ensemble. We consider the system to which generalized external fields are added.
In this case, the Hamiltonian is$\tilde{H}=H+\sum_{j=1}^n h_j X_j$, where H denotes the Hamiltonian of a canonical ensemble without external fields, $h_j s$ coupling constants, and $X_j s$ external fields. When$ [ \tilde{H} , X_j] = 0$ holds for any j, we have $L_{h, j}^s= \Delta X_j/2kT$, where $L_{h,j}^s$ denotes the symmetric logarithmic derivative (SLD), k the Boltzmann constant, and T temperature and $\Delta X_j$ is defined by $\Delta X_j:=X_j-Tr\rho X_j$. Corresponding quantum Fisher information matrix elements are $J_{ij}^s=1/(2kT)^2 \cdot Tr\rho(\Delta X_i \Delta X_j+\Delta X_j \Delta X_i )$. When $ [\tilde{H}, X_j]\neq 0$ , but $i[\tilde{H}, X_j]$ is a self-adjoint operator which is strong commuting with both the $\tilde{H}$ and $X_j$ for any j, SLD and corresponding Fisher information matrix are the same as above-mentioned case.
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北川めぐみ (Megumi KITAGAWA) お茶の水女子大学理学部数学科
作用素環によるMckay対応の拡張: Mckay対応はSL(2,C)の有限部分群のグラフによる分類を与えるものである。本研究では、作用素環の手法や、有限群やコンパクト群の表現論の手法を用いてMckay対応の一般化をする。そのためには、SL(2,C)の有限部分群=SU(2)の有限部分群と言い換えることが重要で、この一般化の結果SU(2)のコンパクト部分群の分類が新たに得られる。その証明では、テンソル圏の考え方が重要となる。
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船川大樹 (Daiju FUNAKAWA) 北海道大学大学院理学院数学専攻
場の量子論のモデルにおける縮退度の評価について: 基底状態（モデルの最低エネルギーに対する固有ベクトル）が存在する場の量子論のモデルに対して、基底状態における縮退度（固有空間の次元）を調べることは場の量子論の一つの問題である。2005年、九州大学の廣島氏によって結合定数が十分小さい場合の縮退度の評価式が与えられた。本講演ではこの評価式の部分的な一般化を発表する。さらにWess-Zuminoモデルなど、4乗相互作用を含むモデルの縮退度について議論する。
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町田夏久子 (Kakuko MACHIDA) 早稲田大学理工学術院基幹理工学研究科数学応用数理専攻
スイッチングシステムを用いた近似最適制御の構成: 本講演では最適制御問題における基本的な問題である近似最適制御構成の一手法を紹介する. 実際, 最適制御は存在しないことがあり, 代替となる近似最適制御を考察するのは自然である.　Clarke,Ledyaev, Sontag, Subbotin(1997)は, 古典的な最適制御の構成法を粘性解の枠組みに取り込み, 粘性解の下限畳み込み(inf-convolution)近似を通して近似最適制御の構成法を与えた. 本講演で紹介する方法では, 与えられた最適制御問題に対して, それを近似するスイッチング制御問題を考え, そのベルマン方程式の粘性解を用いて, 近似最適制御を構成する.
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冨澤佑季乃 (Yukino TOMIZAWA) 中央大学理工学部数学科
準線形波動方程式の初期値問題の可解性: 準線形波動方程式の初期値問題について論じる。Banach 空間における非自励微分方程式の初期値問題は、ある条件を満たす距離に似た汎関数を設定することで解の存在と一意性を示せる。これは同時に Lipschitz 発展作用素の連続な無限小生成作用素の特徴付けを可能にしている。本講演では、これらの抽象的結果とそれを準線形波動方程式に応用した場合の具体例を紹介する。
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井元隆史 (Takashi IMOTO) 北海道大学大学院理学院数学専攻
拡張した量子ハイゼンベルク模型の鏡映正値性を用いた解析: 鏡映正値性の方法を用いての量子ハイゼンベルク模型の相転移の存在証明は1976年にF.J.Dyson,E.H.Lieb,B.Simonによって示された。今回はこの手法を用いてハイゼンベルク模型の相互作用項４次の項まであるような拡張したモデルに対しても相転移が存在することを示す。
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李正勲 (Jeonghun YI) 名古屋大学大学院多元数理科学研究科
非アルキメデス的力学系理論でのモンテルの定理の別証明: 1916年、P. Montelは「ある領域上に定義された正則関数からなる一様有界な関数族は正規である」ことを示した。彼が示した主張はモンテルの定理と呼ばれ、力学系理論などの諸分野で応用されてきた。2000年、L-C. Hsiaは非アルキメデス解析におけるモンテルの定理の類似を証明し、非アルキメデス的ジュリア集合の性質を見出した。
この講演では、多項式写像における非アルキメデス的モンテルの定理の別証明を紹介する。そのために、複素力学系理論とモンテルの定理、そして、非アルキメデス的力学系理論とモンテル定理を並行に説明し、別証明のための道具として、非アルキメデス的グーリン関数を紹介する。
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鈴木拓也 (Takuya SUZUKI) 東京大学大学院数理科学研究科
$C^{1}$級領域上の有界関数空間での高階楕円型作用素が生成する半群の解析性について: 作用素の半群論という熱方程式などの放物型の方程式の解を調べる理論に関する発表をします。この理論は放物型の方程式の解が、ｔ秒送ったものをさらにｓ秒送ったものとｔ＋ｓ秒後のものが一致するという性質に着目して作用素が生成する半群と解を対応付けて発展しました。
具体的な内容としては、有界関数空間上で高階楕円型作用素の固有値問題であるレゾルベント方程式のアプリオリ評価を調べることで解の解析性の問題について考察します。
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谷口晃一 (Koichi TANIGUCHI) 中央大学大学院理工学研究科数学専攻
Scattering problem for semilinear wave equation with a potential: 空間３次元において, ポテンシャル項を持つ半線形波動方程式を扱う. ここで, ポテンシャル$V(x)$は非負な実数値可測関数で空間に依存し, 無限遠方で$0$へ減衰すると仮定する.
本講演では, 初期値問題を考え, 時間大域解の存在と解が自由解に漸近することを示し, 波動作用素・散乱作用素の存在を示す.
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高橋甫宗 (Toshinori TAKAHASHI) 近畿大学大学院総合理工学研究科理学専攻
On the WKB theoretic structure of a Schrödinger operator with a Stokes curve of loop type: ラージパラメータが導入された微分方程式の解析方法である完全WKB解析における方程式の変換理論は主に、パラメータについてのStokes現象を考察する際に重要なものであり、これまでにもAiry型方程式やWeber型方程式への変換が知られている。本講演では、単純変わり点からでたStokes曲線が確定特異点を迂回してできるループ、およびその内部も込めた領域での変形Bessel型方程式への変換論について紹介する。
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渡辺朋成 (Tomonari WATANABE) 広島大学理学研究科数学専攻
消散型波動方程式におけるStrichartz型評価とその応用: 消散型波動方程式の初期値問題を考える。消散型波動方程式とは、波動方程式に摩擦による消散効果を加えた方程式である。この方程式の解は、フーリエ変換を用いた周波数表示により、高周波部分と低周波部分では振る舞いが大きく異なることが知られている。今回はこの事実と影響を説明しつつ、Strichartz型評価と呼ばれる分散型評価の導出と、べき乗型の非線形問題に対する解の適切性への応用を紹介する。
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浅原啓輔 (Keisuke ASAHARA) 北海道大学大学院理学院数学専攻
d次元水素様原子ハミルトニアンの自己共役性: 3次元水素様原子をポテンシャルとする系のハミルトニアンの自己共役性は良く知られている.今回はそれの一般次元での自己共役性を示す.
まずd次元ラプラシアンに関して無限小なポテンシャルとなる関数空間のクラスを求める.加藤-Rellichの定理により、そのクラスの関数をポテンシャルとする系のハミルトニアンは自己共役となる.
その応用としてd次元水素様原子のハミルトニアンの自己共役性を示す.
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日高建 (Takeru HIDAKA) 九州大学大学院数理学研究院
準相対論的なPauli-Fierz模型のスペクトル解析: 粒子と量子場が相互作用する系のスペクトル解析について講演する。今回は準相対論的なPauli-Fierz模型を扱う。Pauli-Fierz模型は粒子と量子輻射場が最小結合した系の模型である。準相対論的なPauli-Fierz模型のハミルトニアンをあるヒルベルト空間上の自己共役作用素として定義し、基底状態の存在を証明する。
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和田和幸 (Kazuyuki WADA) 北海道大学大学院理学院数学専攻
複素スカラー場のハミルトニアンが生成する熱半群について: ボーズ統計に従う粒子と反粒子が相互作用するハミルトニアンの性質を考察する。このハミルトニアンはボソンフォック空間上で自己共役作用素として実現されるが、ボソンフォック空間の性質によりある確率空間上の作用素とみる事が出来る。そこで確率空間においてハミルトニアンの生成する熱半群を考察する。正値性保存型作用素に関する事実を紹介し、応用としてハミルトニアンが正値性保存型作用素である事を見る。
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第11回数学総合若手研究集会
～数学を基盤とした多分野間交流による豊かな発展・発見を～
The 11th Mathematics Conference for Young Researchers

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