線形代数学（ベクトル空間と線形写像の基礎概念および基本的理論が習得できているか，行列の具体的な取り扱いや計算に習熟しているかを考査する）

1. ベクトル空間：ベクトル空間，部分空間，ベクトル空間の直和，双対空間，基底，次元，内積空間，正規直交系とシュミットの直交化
2. 行列の基本操作：行列の演算と基本変形，階数，逆行列，行列式と余因子展開
3. 行列と線形写像：線形写像とその行列表示，線形写像の核と像，種々の行列（エルミート行列，ユニタリ行列，べき零行列等），固有値と固有ベクトル，行列の対角化，二次形式の標準化，ジョルダン標準形

　[1] 三宅敏恒：入門線形代数（培風館）
　[2] 泉屋周一 他：行列と連立一次方程式（共立出版）
　[3] 石川剛郎 他：線形写像と固有値（共立出版）
　[4] 佐武一郎：線型代数学（裳華房）
　[5] 齋藤正彦：線型代数入門（東京大学出版会）
　備考：[1] [2] [3] は下記線形代数学I及びII(学部1年生対象)のカリキュラムに対応した教科書であり，[4] [5] は，出題範囲全体をカバーする本格的 参考書である．

群論

1. 群の基本概念：位数，部分群と指数，正規部分群と剰余群，準同型定理，群の直和と直積，アーベル群の基本定理
2. 群の作用：自己同型群，置換群，群の作用と置換表現，シローの定理
3. 正規列：正規列と組成列，可解群と巾零群，単純群

　[1] 浅野啓三，永尾汎：群論（岩波全書）
　[2] 近藤武：群論（岩波講座基礎数学）
　[3] S. Lang: Algebra (Addison-Wesley)
　[4] 永尾汎：代数学（新数学講座，朝倉書店）
　[5] 永田雅宜：抽象代数への入門（朝倉書店）
　[6] 石田信：代数学入門（実教出版）
　[7] 白谷克巳：代数学入門（森北出版）
　[8] 森田康夫：代数概論（裳華房）

環と加群の基本的理論

1. 環と加群の基本概念:素イデアル，極大イデアル，準同型，剰余環と剰余加群
2. 種々の環とその上の加群：多項式環，整域，単項イデアル環とその上の加群，一意分解環（素元分解環），ネーター環とその上の加群
3. 環と加群の操作：完全系列，テンソル積，局所化（商環），完備化

　[1] M.F. Atiyah and I. G. Macdonald: Introduction to commutative algebra (Addison-Wesley)
　[2] 山崎圭次郎：環と加群Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ（岩波講座基礎数学）
　[3] N. Bourbaki: Elements de Mathematique, Algebre commutative, 1,2,4（上級コース向き）
　[4] S. Lang: Algebra (Addison-Wesley)
　[5] 永尾汎：代数学（新数学講座，朝倉書店）
　[6] 永田雅宜：抽象代数への入門（朝倉書店）
　[7] 石田信：代数学入門（実教出版）
　[8] 白谷克巳：代数学入門（森北出版）
　[9] 森田康夫：代数概論（裳華房）
　[10] 堀田良之：環と体１（岩波講座現代数学の基礎）
　[11] Miles Reid: Undergraduate commutative algebra (London Math. Soc.)

体論とガロアの理論

1. 体の基本概念：体の拡大，部分体，代数拡大，超越拡大，体の同型， 標数，素体，剰余体
2. 代数拡大：有限次拡大，最小多項式，基，生成元，分離拡大，完全体，（最小）分解体，単純拡大，代数閉体，正規拡大，自己同型群
3. ガロアの理論：ガロア拡大，ガロア群，ガロアの基本定理
4. 応用，例：アーベル拡大，方程式の可解性，２次体，円分体，有限体

　[1] 永田雅宜：可換体論（裳華房）
　[2] 藤崎源二郎：体とガロア理論（岩波講座基礎数学）
　[3] S. Lang: Algebra (Addison-Wesley)
　[4] 永尾汎：代数学（新数学講座，朝倉書店）
　[5] 永田雅宜：抽象代数への入門（朝倉書店）
　[6] 石田信：代数学入門（実教出版）
　[7] 白谷克巳：代数学入門（森北出版）
　[8] 森田康夫：代数概論（裳華房）
　[9] 堀田良之：環と体２（岩波講座現代数学の基礎）

位相空間論の基礎

1. 距離空間：距離空間と連続写像，点列コンパクト性， Rⁿの有界閉集合のコンパクト性(ハイネ・ボレルの定理)， 完備性，完備化
2. 位相空間：位相空間と連続写像，開集合，閉集合，閉包，近傍，部分位相空間，直積空間，商空間，開被覆，コンパクト性，ハウスドルフ性，連結性

　[1] 志賀浩二：位相への３０講（数学３０講シリーズ３，朝倉書店）
　[2] 静間良次：位相（サイエンスライブラリ現代数学への入門４，サイエンス社）
　[3] 松坂和夫：集合・位相入門（岩波書店）
　[4] 矢野公一：距離空間と位相構造（共立講座２１世紀の数学４，共立出版）
　[5] J.R. Munkres: Topology (Prentice-Hall)
　[6] リプシュッツ(大矢建正，花沢正純訳)：一般位相（マグロウヒル大学演習シリーズ）
　備考：位相の入門を心にひびくように語ったものが [1]，また，簡潔かつ必要十分に説明しているのが [2] である．初学者は [1]，[2]を参考にするとよい．[3] はスタンダードな教科書といえよう．また [4] は，豊富な意味深い例が多くあげてあり，将来数学の研究をめざす者にすすめられる．数学の論文を読むにあたって，位相の概念の英語による表現に慣れておく必要がある．そのためには [5] を参照されたい．手ごろな演習書としては [6] があるが，まず幾何考究１の過去の出題問題を解いてみよう．

多様体の基礎

1. 多様体の定義：局所座標系，積多様体，Ck級関数，Ck級写像，１の分解
2. 写像とその微分：接ベクトル空間，写像の微分，関数の微分(differential)，余接ベクトル空間，臨界値と正則値(critical value & regular value)
3. 部分多様体：はめ込みとしずめ込み (immersion & submersion)，埋め込み(embedding)，（正規）部分多様体
4. ベクトル場と微分形式：ベクトル場とその積分，リー微分，Lie bracket，微分形式，外微分，フロベニウスの定理，多様体の向き（orientation），微分形式の積分，横断正則性

　[1] 松本幸夫：多様体の基礎（東大出版）
　[2] 松島与三：多様体入門（裳華房，英訳あり）

幾何学の基礎

　Ａ：

1. 閉曲面のトポロジー：商位相，積位相，位相同型，閉曲面の構成
2. 基本群：位相不変量，ホモトピーの概念と不変量，基本群，被覆空間，群の表示，ファン-カンペンの定理

　Ｂ：

1. 曲線論と曲面論：共変微分，第２基本形式，ガウス曲率，測地線， ガウス-ボンネの定理

[1] 松本幸夫：トポロジー入門（岩波書店）
[2] クゼ・コスニオフスキ：トポロジー入門（東京大学出版会）
[3] 小林昭七：曲線と曲面の微分幾何（裳華房）
[4] 梅原雅顕・山田光太郎：曲線と曲面（裳華房）

位相幾何学の基礎

1. 特異ホモロジー群：ホモトピー不変性，Mayer-Vietoris完全列，空間対のホモロジー完全列，切除定理，一次元ホモロジー群と基本群との関係，有限胞複体のホモロジーとその計算，コホモロジー環
2. ホモロジーの応用：ブラウアーの不動点定理，ジョルダン-ブラウアーの分離定理，代数学の基本定理，写像度，オイラー数，ベッチ数，単体複体とそのホモロジー，閉曲面

[1] 枡田幹也：代数的トポロジー（朝倉書店）
[2] M. Greenberg and G. Harper: Lectures on Algebraic Topology (Benjamin)
[3] 田村一郎：トポロジー（岩波全書）
[4] 服部晶夫：位相幾何学 I（岩波講座基礎数学）
[5] 中岡稔：位相幾何学（ホモロジー論）（共立出版）

微分積分学とその応用（計算及び理論より全般的に出題する）

1. 関数の連続性：ε-δ論法，中間値の定理，有界閉集合上の連続関数の性質（一様連続性，最大最小値の定理）
2. 級数，関数項級数：条件収束，絶対収束，収束・発散級数の例と判定法，一様収束巾級数と収束半径，優級数法
3. 一変数及び多変数の微分とその応用：微分の定義と計算に関する公式，テイラーの定理，極値問題，変数変換とヤコビアン，陰関数定理，関数列の極限と微分の交換，関数項級数の項別微分
4. 一変数及び多変数の積分とその応用：積分の定義と計算に関する公式，広義積分，積分で定義される関数の性質，多重積分，積分記号下の微分，関数列の極限と積分の交換，関数項級数の項別積分

　[1] 上見練太郎 他：微分（共立出版），積分（共立出版）
　[2] 三宅敏恒：入門　微分積分（培風館）
　[3] 井上純治 他：級数（共立出版）
　[4] 杉浦光夫：解析入門 I，II（東大出版会）
　[5] 高木貞治：解析概論（岩波書店）
　[6] 一松　信：解析学序説（裳華房）
　[7] 石黒一男 他：基礎課程 微分積分学（共立出版）
　備考：細目１，３，４については[1]と[2]，細目１，２については[3]が挙げられる． これらは，大学1年〜2年前半のカリキュラムに対応した教科書である． [4]〜[7]は出題範囲全体の内容を含む，本格的教科書である．

１変数の複素解析（理論および計算を全般的に学習する）

1. 複素平面，複素微分
2. 曲線に沿っての積分（平面のグリ－ンの定理を含む）
3. 複素積分，調和関数，正則関数
4. コ－シ－・リ－マンの方程式
5. コ－シ－の積分定理，コ－シ－の積分公式
6. 最大値原理とその応用，正規族
7. 正則関数の孤立特異点と級数表現（テイラ－展開，ロ－ラン展開）
8. 等角写像の基本的な性質（具体的な例を中心とする）
9. 留数定理とその応用

　[1] 野口潤次郎：複素解析概論（裳華房）
　[2] 小平邦彦：複素解析　I，II（岩波講座基礎数学）
　[3] 辻　正次：複素関数論（槙書店）
　[4] 森　正式 他：複素関数論　I，II（岩波講座応用数学）
　[5] L.V. Ahlfors: Complex Analysis (McGraw-Hill)
　[6] W. Rudin: Real and Complex Analylsis (McGraw-Hill)

ルベーグ積分論とその応用（主に関数空間論，フーリエ解析）

1. ルベーグ積分論：完全加法族，可測集合，Rⁿのボレル集合，測度空間ルベーグ測度，直積測度，可測関数，ルベーグ積分，ファトーの補題，ルベーグの収束定理，積分記号のもとでの微分法，フビニの定理，リーマン積分とルベーグ積分の関係，測度の絶対連続性と特異性
2. 関数空間論：L^p空間（１≦ｐ≦ + ∞）， ヘルダーの不等式，ミンコフスキーの不等式，畳み込み，ワイエルシュトラスの多項式近似定理，急減少関数の空間，正値加法的汎関数
3. フーリエ解析：ヒルベルト空間，（完全）正規直交系，シュミットの直交化，フーリエ級数，ベッセルの不等式，パーセヴァルの等式，フーリエ変換，リーマン-ルベーグの定理

　[1] 伊藤清三：ルベーグ積分入門（裳華房）
　[2] 吉田耕作・河田敬義・岩村 聯：位相解析の基礎（岩波）の 第１編の第４章，第５章，第２編の第１章，第３章，第３編の第５章
　[3] 越 昭三：測度と積分（共立）
　[4] 岸 正倫：ルベーグ積分（サイエンス社）
　[5] G.テンプル(江沢・南條訳)：ルベーグ積分入門（ダイヤモンド社）
　[6] W.Rudin: Real and Complex Analysis (McGraw-Hill)

関数解析の基本的理論

1. バナッハ空間：ノルム空間，完備性
2. ヒルベルト空間：内積空間，（完全）正規直交系，シュミットの直交化， 正射影，ベッセルの不等式，パーセヴァルの等式，リースの表現定理
3. バナッハ空間上の線形作用素：有界線形作用素，閉作用素，ベールの定理，一様有界性の原理(バナッハ-シュタインハウスの定理），開写像定理，閉グラフ定理，レゾルヴェント，スペクトル，ノイマン級数，コンパクト作用素
4. ヒルベルト空間上の線形作用素：共役作用素，自己共役作用素

　[1] 黒田成俊：関数解析（共立）
　[2] 州之内治男：関数解析入門（サイエンス社）
　[3] 千葉克裕：関数解析（培風館）
　[4] 村上温夫：関数解析（朝倉書店）
　[5] 吉川 敦：関数解析の基礎（近代科学社）
　[6] W.Rudin: Functional Analysis (McGraw-Hill)

常微分方程式の基礎理論，特別な常微分方程式の解法，及び常微分方程式の定めるフローの定性的理論についての理解を試す．具体的には次のような項目について理解し，且つ習熟していることを求める．

1. 常微分方程式の解の存在および一意性，初期値およびパラメータに関する依存の滑らかさ．（アスコリの定理，グロンウオールの補題等も含む）
2. 連立線形常微分方程式に関する基礎的な議論（特殊解，一般解，初期値に関する線形性，解核行列，など）
3. 連立定数係数線形常微分方程式の解法および解の性質．（定数変化法，行列の指数関数など）
4. 常微分方程式を相空間上のフローとみなして定性的幾何学的手法を使用すること．（極限集合，平衡点および周期軌道の安定性，極限周期軌道等の用語．またポアンカレ・ベンディクソンの定理およびその証明に使われるポアンカレ写像の定性的性質についての議論などを理解していること．）
5. 古典力学の運動方程式およびリヤプノフ関数を持つ系（勾配流等）の簡単な実例および基礎的な理論（ラグランジュ方程式，ハミルトン方程式，リュウビルの定理，リヤプノフ安定性）

高橋陽一郎：微分方程式入門（東大出版会） １章−３章 　

測度論的確率論の数学的基礎について理解し，且つ習熟していることを求める．

１章　確率空間
　　３節　確率測度（但し，３.４節（確率測度の完備化），３.５節（σ-有限測度）は除く）
　　４節　確率変数
　　５節　平均値
２章　独立確率変数列
　　８節　確率分布
　　９節　独立確率変数列
３章　確率分布の収束
　　１１節　確率測度の弱収束（但し，11.1節（ポーランド空間）， 11.2節（ラドン確率測度）は除く）
　　１２節　特性関数
　　１３節　法則収束（但し，13.2節（ボホナーの定理）は除く）

佐藤坦：はじめての確率論　測度から確率へ（共立出版）の内，上記のものとする． 　

数値解析・数値計算・アルゴリズムについて理解し，かつ習熟していることを求める．

1. 数値解析，数値計算（線形方程式，非線形方程式，常微分方程式）
   「数値解析」森　正武　著　（共立出版）
   以下のような内容についての習熟を求める
   ○ 線型方程式の数値解析・数値計算
   ○ 非線型方程式の数値解析・数値計算
   ○ 常微分方程式の数値解析・数値計算
   ○ 関数近似・関数補間
   ○ 数値積分法
   
2. アルゴリズム構成法(基本データ構造・再帰呼出し・計算量)
   「アルゴリズムＣ第一巻」第１章〜７章　セジウィク著　野下他訳 （近代科学社）
   以下のような内容についての習熟を求める
   ○ リスト、スタック、キューなどの基本データ構造
   ○ 木構造、再帰呼び出し
   ○ アルゴリズムの解析、計算量
   ○ アルゴリズムの実装、最適化
   

　[1] 森正武：数値解析（共立出版）
　[2] セジウィク著（野下他訳）：アルゴリズムＣ第一巻 第１章〜７章（近代科学社）