代数学研究分野紹介

代数というとどんなイメージが浮かぶでしょうか?

高校数学の中で相当する内容をあげれば, 数と式に関係する部分となるでしょう. 数や式は足したり引いたりかけたり割ったりすることができます. 高校数学では数や文字式の四則計算について様々な現象を学びます. では数でも式でもないモノたちの間に, 足し算や掛け算などを考えることはできるのでしょうか? この疑問は抽象的な代数への入り口と言えます. 代数は「数」と「式」を様々な対象に置き換え, 加減乗除を対象の間の演算という形で捉え直して(抽象化して), そこから生じる様々な現象について研究する分野ということができます. 数の集まりや式の集まりに四則演算が定まるように, 演算をもったモノの集まり(集合)を代数系と言います. 積が定義された集合である群, 積および和が定義された環, これら二つは最も基本的な代数系です.

数や文字式の代わりに代数系を考えるというのは, 単なる抽象化というわけではなく, 具体的な問題に対して多くの成果を挙げてきました. 例えば2次方程式が解の公式を持つように3次, 4次方程式も解の公式を持ちます(その形は大変複雑ですが). しかし5次以上の方程式には一般には解の公式がないことが知られています. なぜ解の公式があったりなかったりするのでしょうか? 実は方程式に解の公式があるかどうかという問題が, 根の間の対称性に関する群の構造に関係していることが明らかになっています(ガロア理論). ガロア理論は大学の3~4年の講義で扱いますが, 多くの数学者が理想としている美しい理論です. 代数と言う分野は, 「整数」「方程式」「対称性」などの数学における基本的で素朴な対象に対する好奇心と, 幾何, 解析や物理などの他分野から要請に応える形で, 20世紀に大きく発展しました.

北大の代数系グループでは多岐にわたる研究が展開されています. いくつかキーワードを挙げると, 多項式で定義された図形や整数の性質を調べる代数幾何学, 数論幾何学. 他の多くの分野(微分方程式論, 解析学, 幾何学, 組合せ論や物理学)との接点を持つ, 代数解析学, 特殊関数論, 可積分系, 表現論, 頂点代数, 超平面配置などです.

これらのテーマは独立したものではなく, 互いに影響し合って発展しています. 不定期に開かれている「表現論セミナー」「群論セミナー」「代数幾何セミナー」「数論幾何セミナー」「組合せ論セミナー」には多くの教員, ポスドク研究員, 大学院生が参加し, 内外の研究者の最新の研究成果について, 活発な議論が行われています.