【 E-mail 勉強会過去メール 】
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巷で大評判，かの有名な E-mail 勉強会へようこそ！
入会随時．オブザーバー歓迎．
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関係各位
紅葉と食欲の秋，皆様にはいかがお過ごしでしょうか？
e-mail 勉強会の連絡をいたします．
現在のテキストは，Montgomery の本の最後と，
引き続き９月札幌研究会での Veys の survey です．詳細に関しては，
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/benkyo.html
を御確認ください．
一応，数理研の研究会で e-mail 勉強会は一区切りつけたいと思います．
数理研研究集会が終わって，まあ，来年の４月には，新しいテーマに関して
勉強会を開こうと考えていますので，またお騒がせするかと思いますが，
その節もよろしくお願いいたします．
なお，数理研の研究集会(１１月２５日〜２８日)のプログラムは，
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/rims2003program.html
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/e-rims2003.html
にあります．ご確認ください．
おもしろい話題がそろったと自負しています．
御多忙のことと存じますが，数理研の研究会にもご足労ご参加頂ければ幸いです．
では，今後ともよろしくお願いいたします．
２００３年１０月２７日
石川 剛郎
関係各位
すっかり秋の気配が感じられる今日この頃，いかがお過ごしでしょうか？
だいぶ，間が開きましたが，e-mail 勉強会を復活いたします．
詳細は，
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/benkyo.html
を御確認ください．Montgomery の本の続きと，９月札幌研究会での Veys の survey
をテキストにしてみました．
それから，関連して開催する数理研の研究集会(１１月２５日〜２８日)
のプログラムの暫定版を作りました：
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/rims2003.html
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/rims2003program.html
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/e-rims2003.html
ご確認ください．
一応いまのところ講演時間帯が全部埋まっています．
これから講演申し込みしようとしていた方がいたらすみません．
でも，我こそは，という人がいたら，
(早起きして，遅くまで研究会を開くことにすれば，まだ大丈夫かもしれないので，
それに何があるかわからないので)
とりあえず私(石川)に講演希望の意志を連絡してみてください．
では，今後ともよろしくお願いいたします．
石川 剛郎
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関係各位
こんにちは石川剛郎です．北大では幾何学シンポジウムも
開催され，やはり忙しい季節が続きますが，皆様にはいかがお過ごしでしょうか？
さて，e-mail 勉強会の件ですが，９月の札幌での特異点国際研究集会の日程も
迫ってきているので，
Motivic integration の勉強はここで一段落することにします．
Non-holonomic 幾何に関しては，引き続き，
２００３年９月１日〜９月１５日のテキストを
R. Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometry,
Their Geodesics and Applications. Mathematical Surveys
and Monographs, vol. 91, 2002.
Ch. 10 Open problems.
Ch. 11 Metrics on bundles.
とします．
過去のテキスト，関連テキストのレビュー，コメント等は
引き続きお送りください．
なお，
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/benkyo.html
のレビュー等が随時更新(予定)されています．
また何か新しい企画をがんばって考えたいと思いますので，ご期待ください．
では，引き続きよろしくお願いいたします．
２００３年８月２０日
石川剛郎
関係各位
こんにちは石川剛郎です．毎度お騒がせしているe-mail 勉強会ですが，
今日から，また新しいテキストになっていますので，ご案内いたします．
なお，
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/benkyo.html
のレビュー等が随時更新(予定)されています．
私(石川)自身，何かと忙しく，それでいて(講義が終わって)
何か気合いの入らない季節ですが，Gromov が離散群と連続群を結び付けた
ように，sub-Riemann 多様体と結びつく離散的対象な何か，などといったことを
夢想しております．
皆様には，健康に気を付けてお過ごしください．
では，よろしくお願いいたします．
２００３年８月４日 石川 剛郎
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関係各位
こんにちは石川剛郎です．信州大のトポロジーシンポジウムから帰ってきました．
さて，E-mail 勉強会ですが，Montgomery の本に関する森本徹さんからレビューが届きましたので，下に添付いたします．
なお，今後の E-mail 勉強会の予定・テキストですが，
８月４日(月)から８月１８日(月)までの非ホロノーム幾何テキスト
R. Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometry, Their Geodesics and
Applications. Mathematical Surveys and Monographs, vol. 91, 2002.
Ch.8: The tangent cone and Carnot groups
Ch.9: Discrete groups tending to Carnot geometry
８月４日(月)から８月１８日(月)までのモチーフ積分テキスト
J. Denef, F. Loeser, Geometry on arc spaces of algebraic varieties.
European Congress of Mathematics, Vol. I (Barcelona, 2000), 327--348,
Progr. Math., 201, Birkhauser, Basel, 2001.
4. Motivic integration and the Proof of Theorem 3.2.
5. The motivic Thom-Sebastiani theorem.
6. The arithmetic motivic Poincar{\' e} series $P_{arith}(T)$.
と設定いたします．
テキスト入手方法については，私(石川)にご連絡ください．
日程等は「だいたい」です．以前のテキストに関するレビュー・感想等もお寄せください．参考文献等に関するレビューももちろん歓迎いたします．
なお，
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/benkyo.html
のレビュー等が随時更新されています．
では，引き続きよろしくお願いいたします．
２００３年７月２３日 石川 剛郎
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
２００３年７月２２日 森本 徹さんによるレビュー
Montgomery の本
Chap. 7 のintroduction (pp.95- 96)で，
著者はこう書いている：
B. Bor and I, with the help of B. Bryant, showed
that the largest possible symmetry algebra for the elliptic
distributions of growth (4,7) is the 21-dimensional Lie algebra
sp(2,1). ... The method provides a way to realize these maximal-dimensional
symmetry algebras, as well as all of the possible small symmetry algebras.
I know of no other method can yield results approching these.
しかし，
the 21-dimensional Lie algebra sp(2,1)
に到るのには，もっと簡明な（少なくとも筋道のよく分かる）
道があります．
また pp. 96 , 3行目からの文：
A warning is in order. The Cartan method of equivalence is sometimes
referred to by experts as an algorithm. I have found it as much an art
as an algorithm. ...
を目にし：
それを algorithm と明言しうる資格をもった人がいるだろうか．
しかしart に止まっていてはいけない．．．．
などと独り言を言っています．
以下の順に，少しコメントしたいと思います．
１．The Cartan method of equivalence とその後の発展．
２．幾何構造の方法，特に，巾零幾何の方法が
subriemannian structure にどのように適用されるか．
３．Subriemannian contact manifold.
４．The elliptic distributions of growth (4,7)．
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
１．The Cartan method of equivalence とその後の発展
（Mor93 の序文，あるいは Mor02 pp219-220 参照）．
２０世紀はじめ．カルタンは無限次元リー群の構造を明らかにするために
今日のG-構造にあたるものを考え，任意の無限次元リー群は，
あるG-構造の同型群として定義されることを示し，G-構造の構造方程式を確立
している．
群が無限次元ならばG-構造は infinite type となり，ここでは特に
involutive な G-構造がinvolutive な偏微分方程式系と結びつき重要な
役割を演じる．
G-構造がfinite type の時は，同型群は有限次元リー群となり，この G-構造に
たいする同値問題は，絶対平行性の幾何に帰着し，解析的には常微分方程式に
帰着する．
Cartan は Klein の思想を発展させ，絶対平行性の中でも特に重要なものとして，
espace generalise（ 即ち，カルタン接続を持つ bundle ）というものを創案した．
この構造においてはその不変量が群論的に分かりやすい形で表されるのが
大きな特徴・利点である．
与えられた構造に対して，常にカルタン接続が付随するわけではない．
従ってカルタン接続を構成することは特別重要な意味を持つことになる．
カルタンは１９１０年の５変数でのPfaff系の論文おいて，growth (2,3,5) の
distribution に対して巧妙難解な方法でカルタン接続を構成している.
（ Montgomery の本でも何度も言及されている）．また，後に，射影構造，共形構
造，３次元 CR構造
に対してもカルタン接続を構成している．
５０年代に入りEhressmannらによりカルタンの方法はようやく現代的な概念
の中で定式化され出す．
G-構造の定義は Chern によって与えられる．
Singer-Sternberg の論文はG-構造とLie pseudo-groupについて極めて明解な考察を
展開しカルタンの方法の重要な側面を現代的な立場から明らかにする．
しかし，これによってカルタンのアイデアと方法が完全に明らかになった
わけではない．
第１に，上述のカルタンの５変数の論文がその典型的な例だが，カルタン接続の
構成は，G-構造の理論だけからは容易には説明ができない．
第２に，幾何構造の同値問題を一般的に考察し遂行するのに G構造の枠組み
だけでは不十分である．
田中は，CR 構造にたいするカルタン接続の構成やカルタンの５変数の論文の
研究を通して，それらをさらに発展させ「微分式系の幾何」を展開する．
我々が巾零幾何と呼ぶものはここから始まる．単純リー環に付随した幾何構造に
対するカルタン接続の構成は特に重要な成果である．
森本は，towerの概念を導入し，フイルター付き多様体上のtower という定式化
の中で幾何構造の同値問題を一般的に考察する枠組みを構築する．ここにおいて
G-構造，カルタン接続，微分式系の理論が統一的な視点の中で融合される．
weighted involutive の新概念がinfinite type の時には中心的な役割を演じ，
finite type の時は，カルタン接続が存在するための（おそらく best possible な
）判定条件がが得られ，
簡明な構成法が与えられる．
また，カルタン接続ができるとき，不変量の在処を特定するのに，
対応するリー環に付随したgeneralized Spencer cohomology group を計算する
ことが重要となる．山口は Kostant の方法を用いて詳しく計算を遂行している．
一方，Chern, Gardner, Bryant の系譜がある．カルタンの方法の実践的応用の
流派というべきだろうか，Montgomery はこの流れを汲んでいる．
Singer-Sternberg を引用していないのも特徴的だが，通常は frame bunndle を
用いるのを coframe bundle で通しているのもおもしろい．
References (incomplete):
%Cartan, E.
\ref\key Car04
\by \quad \quad \'E. Cartan
\paper Sur la structure des groupes infinis de transformations
\jour Ann. \'Ecole Norm. Supp.
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\endref
\ref\key Car10
\by \quad \quad \'E. Cartan
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d\'eriv\'ees partielles du second ordre
\jour Ann. \'Ecole Norm. Supp.
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\endref
%Cartan 4
\ref\key Car31
\by \quad \quad \'E. Cartan
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\jour \'Elie Cartan Oeuvres compl\`etes, Partie 1, Volume 1
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\endref
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\jour Hokkaido Math. J.
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\endref
%pno 12
\ref
\key Mor02
\by \quad \quad T. Morimoto
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on filtered manifolds
\jour Advanced Studies in Pure Mathematics
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\endref
\ref
\key SS65
\by \quad \quad I. M. Singer and S. Sternberg
\paper On the infinite groups of Lie and Cartan, I
\jour J. Analyse Math.
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\endref
%Tanaka 5
\ref\key Tan70
\by \quad \quad N. Tanaka
\paper On differential systems, graded Lie algebras and pseudo-
groups
\jour J. Math. Kyoto Univ.
\vol 10
\yr 1970
\pages 1--82
\endref
%Tanaka 8
\ref\key Tan79
\by \quad \quad N. Tanaka
\paper On the equivalence problems associated with simple graded Lie algebras
\jour Hokkaido Math. J.
\vol 8
\yr 1979
\pages 23--84
\endref
%Yamaguchi, K.
\ref\key Yam93
\by \quad \quad K. Yamaguchi
\paper Differential systems associated with simple graded Lie algebras
\jour Adv. Studies in Pure Math.
\vol 22
\yr 1993
\pages 413--494
\endref
\ref\key Yam93
\by \quad \quad K. Yamaguchi and T.Yatsui
\paper Geometry of higher order differential equations of finite type
associated with symmetric spaces
\jour Adv. Studies in Pure Math.
\vol 37
\yr 2002
\pages 397--458
\endref
２．幾何構造の方法，特に，巾零幾何の方法が
subriemannian structure にどのように適用されるか．
$(M, D, g)$ をsubriemannian structure とする．ここで
$D$ は $TM$ の subbundle，$g$ は $D$ 上のリーマン計量である．
$g$ は $F^{-1}$ 上の計量を与えているので，$(M, D, g)$
はフィルター付き多様体 $(M, F)$ 上の幾何構造と捉えることができ．
まさに巾零幾何の方法が適用されるのである．
（$(M, F)$ の各点 $x$ において，symbol algebra と呼ばれる階数付き巾零リー環
$gr_x F$ が決まる．この巾零リー環を空間の第１近似として展開される幾何理論を
巾零幾何と呼んでいる．）
この方向での最初の基本的な結果は，
任意の subriemann 構造$(M, D, g)$に対して，然るべきregularity condition の
下では，これに付随したカルタン接続が構成できる，ということである．
カルタン接続の構成には，森本の判定法と構成法を適用する．
（この結果は今年１月の呉での研究集会で報告した．）
このようにして，subriemann 構造の不変量は原理的には付随するカルタン接続
の曲率から得られることになるが，subriemann 構造に対応する symbol algebra は
多様で変化に富んでいるので各論が重要になり，いろいろな問題がある．
３．Subriemannian contact manifold.
最も簡単な non-trivial な subriemann 構造の一つは subriemaniann contact
manifold であろう．subriemaniann contact manifold の curvature というべき
不変量はどのように見つかるだろうか．
３次元の場合，Montgomery の本にかなり詳しく説明されているが，この場合でも
既にかなり込み入っている．
我々の方法によると，３次元に限らず一般次元の場合にも，カルタン接続を構成
することにより曲率の在処がはっきりと分かる．
これを元にして，等質な subriemannian contact manifold を分類することは
ある程度実行可能な興味深い問題だが，これについては大学院生の北川君と
研究を進めている．
４．The elliptic distributions of growth (4,7)
Montgomery は 彼自身 art と言いたくなるような複雑巧妙な方法で
elliptic distributions of growth (4,7) の automorphism group
は高々２１次元で，この最高次元に達するときsymmetry algebra は sp(2,1)
になることを示している．
これは，カルタンの５変数空間のPfaff式系と並んで，カルタン接続のできる
興味深い例である．
(M, D) を７次元多様体上の rank 4 の distribution とする．
これが growth (4, 7) で Montgomery の意味で elliptic type ならば，
$D$ から決まるfiltration は深さが２で，その symbol algebra
$ g_{-} = g_{-2} \oplus g_{-1} $ は次の形で与えられる：
$g_{-1} = Q (the quaternios),
g_{-2} = P ( the pure quaternions )
[x, y ] = - x^{\iota}y + y^{\iota}x (for x, y \in Q) $.
このリー環 $g_{-}$ の prolongation は単純リー環 $sp(2,1)$
になることが確かめられる．従って，田中の定理により
$sp(2,1)$型のカルタン接続が構成できるのである．
これはまたCR構造の quaternion 版とみることもできる．
なお，hyperbolic distributions of growth (4,7)に対しても同様であると
書いてあるが，まだゆっくり考えていない．
先頭
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関係各位
七夕の季節，皆様にはいかがお過ごしですか？
七夕ならぬ"たなぼた"のアイディアが出ないかということで
続けている e-mail 勉強会ですが，
今日から
テキストが変わります．また，新しいレビューを下に添付しました．
７月７日(月)から７月２１日(日)までのモチーフ積分テキスト
J. Denef, F. Loeser, Geometry on arc spaces of algebraic varieties.
European Congress of Mathematics, Vol. I (Barcelona, 2000), 327--348,
Progr. Math., 201, Birkhauser, Basel, 2001.
1. Introduction.
2. The arc space of a variety.
3. The motivic zeta function of a regular function.
７月７日(月)から７月２１日(月)までの非ホロノーム幾何テキスト
R. Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometry, Their Geodesics and
Applications. Mathematical Surveys and Monographs, vol. 91, 2002.
Ch.7: Cartan's approach.
Appendix D: Calculus of the endpoint map and existence of geodesics.
テキスト入手方法については，私(石川)にご連絡ください．
以前のテキストに関するレビュー・感想等もお寄せください．
なお，
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/benkyo.html
のレビュー等が随時更新されています．ミスプリント情報のコーナーも できました．
他の参考情報も随時付け加えていきたいと思っております．
では，引き続きよろしくお願いいたします．
２００３年７月７日石川 剛郎
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
２００３年７月４日 足立二郎さんから．
まず，これは少し注意しなければいけないと思うのですが，
どこからか，``type $(n,k)$" と ``with growth vector $(a,b)$" が
混乱していると思います．
例えば，
P86. L-11. の type(3,5) and of (2,3,5) は，growth vector だと思います．
あと，ミスプリントと思われるのは，次のものです．
P86. L-3. $w\colon \mathcal{E}^\perp\to\bigwedge^2\mathcal{H}^\ast$ -->
$w\colon \mathcal{E}^\perp\to\bigwedge^2\mathcal{E}^\ast$
P86. L-3. $\bigwedge^2\mathcal{H}\to TQ/\mathcal{E}$ -->
$\bigwedge^2\mathcal{E}\to TQ/\mathcal{E}$
P87. L+15. $P\mathbb{H}_q$ --> $P\mathcal{H}_q$
P87. L-7. $\ker(w(\lambda)$ --> $\ker(w(\lambda))$
P87. L-3. 5.4 --> 5.5
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
２００３年７月７日 石川 剛郎によるレビュー
Montgomery の本の第６章のレビュー
この章では，non-holomorphic 幾何の舞台となる
manifold-with-distribution のいろいろな例，
contact, Engel, Grousat, Jet, rolling surface, ...を説明している．
個人的には，6.10 の
instanton distribution (quaternionic Hopf fibration)
と Mostow rigidity の関係の部分
の説明が目新しかった．
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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関係各位
こんにちは石川剛郎です．
蒸し暑い日々が続く今日この頃，御多忙のことと存じます．
さて次の E-mail 勉強会の予定をお知らせします．
また，２週間の猶予期間をおいて開始します．
非ホロノーム幾何は，Montgomeryの７章を読みます．
それから，Appendix D も重要そうなので，読みます．
モチーフ積分は，J. Denef, F. Loeser の下記の論文を読むことにしました．
(この survey はあまり細かいことは書いてないようなので，
勉強会には少し不向きかも知れませんが，すでに Craw を読んでいるので
気楽な気持ちでいきます)．
これからのテキスト：
７月７日(月)から７月２１日(月)までの非ホロノーム幾何テキスト
R. Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometry, Their Geodesics and Applications. Mathematical Surveys and Monographs, vol. 91, 2002.
Ch.7: Cartan's approach.
Appendix D: Calculus of the endpoint map and existence of geodesics.
７月７日(月)から７月２１日(日)までのモチーフ積分テキスト
J. Denef, F. Loeser, Geometry on arc spaces of algebraic varieties.
European Congress of Mathematics, Vol. I (Barcelona, 2000), 327--348,
Progr. Math., 201, Birkhauser, Basel, 2001.
1. Introduction.
2. The arc space of a variety.
3. The motivic zeta function of a regular function.
テキスト入手方法については，私(石川)にご連絡ください．
なお，期間は私(石川)が勝手にきめているので，過去のテキストのレビュー
もよろしくお願いします．
関連する別の論文，別の本のレビューでも結構です．気楽に連絡してください．
テキストや勉強会の進め方など，どんなことでもご連絡頂ければ幸いです．
９月の札幌での国際会議の準備でも忙しくなりますが，
勉強会も(勉強のペースは遅くなると思いますが)おろそかにしないつもりです．．．
それから，
１１月の数理研研究会の講演依頼もそろそろ始めなくてはと考えています．
その節はよろしくお願いします．
(勉強会関連の特別講演と，関連するテーマの一般講演の両方を企画予定です．
自薦，他薦歓迎！すでに講演者の推薦が一件ありました!)
なお，
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/benkyo.html
のレビュー等が随時更新されています．ミスプリント情報のコーナーも できました．他の参考情報も随時付け加えていきたいと思っております．
では，引き続きよろしくお願いいたします．
２００３年６月２４日 石川 剛郎
先頭
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関係各位
こんにちは石川剛郎です．
「北海道には梅雨がない」というのはウソであると想っている今日この頃，
いかがお過ごしでしょうか？
さて，E-mail 勉強会の件ですが，私(石川)の勉強の途中経過報告をします．
なかなか進みません(学成り難し)．
なお，
現在の設定期間とテキストは，
2003年６月９日(月)〜６月２３日(月) の設定期間で，
現在のモチーフ積分テキスト
A. Craw, An introduction to motivic integration, arXiv:math.AG/9911179 link
4. Calculating the motivic integral.
5. The McKay correspondence.
現在の非ホロノーム幾何テキスト
R. Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometry, Their Geodesics and
Applications. Mathematical Surveys and Monographs, vol. 91, 2002.
Ch.5 Singular curves and geodesics.
Ch.6 A zoo of distributions.
です．なお，
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/benkyo.html
のレビュー等が随時更新されています．ミスプリント情報のコーナーも
できました．他の参考情報も随時付け加えていきたいと思っております．
では，引き続きよろしくお願いいたします．
２００３年６月１７日 石川 剛郎
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
質問箱の質問に関する回答というかコメントですが，
質問２(N)：
(Montgomery の本の) Theorem2.2(Chow's theorem)のところで 逆は成り立たないの
ですが，どんな条件の時成り立つのでしょうか？ 条件をなんか加えて逆が成り立つ
のはいつか．
について，Montgomery の本のAppendix C の Sussmann の定理や
Ambrose-Singer の定理が，この質問に対する答え(の一部)になるようです．
この質問2(N) は非常に良い問いであったということですね．(石川剛郎)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
テキストが難しすぎて，ようSussmann
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
２００３年６月１７日 石川 剛郎さんによるレビュー
Montgomery の本の第５章のレビュー(途中)
5.1 は，特異曲線(singular curve) の定義を与えている．
singular curve は，終点写像(endpoint mapping)
の特異点である．endpoint mapping は，
１点から発する水平曲線(horizontal curve)
に対して，その終点を対応させる写像である．
したがって，endpoint mapping
は，horizontal curves (integral curves) の空間からの
写像である．
その写像の「特異点」を議論するためには，
horizontal curves の空間に「微分構造」を入れなければならない．
微分構造の詳細は，Appendix D に書いてある．
5.2 では，characteristic の概念を説明し，singular curve
と characteristic の同値性を，endpoint mapping の微分を調べる
ことにより証明している．おもしろい．
なかなかの力作な(= 解説の仕方のオリジナリティーが高い)ので，
読むスピードがガクンと落ちてきました．大切な絵本を楽しみながらゆっくり読む
子供のような心境です．(実は，微分幾何の問題集の投稿原稿書きや，
急に読まなくてはいけない論文があったり，昔のpreprintいじりをしたり等で，
"雑用"はさぼっているにもかかわらず，それでも時間が取れなかったと
いうのが正直なところです．．．)
Motivic の方は，
4.1 は眺めて，4.2 の examples はスキップしました．(踊ったわけではない)．
(解説の仕方にオリジナリティーを感じなかった)．
現在第５章の Reid による一般化されたMcKay 対応の予想に対する，
Batyrev の証明の可換な場合の証明(pp.27--28)を読み始めたところです．
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
「勉強会苦労して読む Craw かな」
「Montgomery もう読みたくないもんとごねり」「もういやだもんとゴロ寝」
先頭
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関係各位
こんにちは石川剛郎です．
E-mail 勉強会のレビューが届いたので，公開いたします．
また，それとは別の方から質問を受けたので，それもお知らせします．
(原則，レビューは記名，質問は匿名，質問に対する回答は記名とします．)
それに応じて，
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/benkyo.html
も更新しています．
では，引き続きよろしくお願いいたします．
２００３年６月２日 石川 剛郎
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
２００３年５月３０日 小池敏司さんのメール．
兵庫教育大学の小池です。
E-mail 勉強会の泉さんの質問を拝見しました。
「よくわからないことは， p.8 の measure につける
$\mathbold{L}$ の指数 $-n(k+1)$ のとり方です．
あとの計算の中で活きているのでしょうが
実感的に納得していません．」
Adam との motivic に関する最近の共著の論文において、
我々も Denef-Loeser に習って同様の指数をつけました。
cylinder set $C = \pi_k^{-1}(B_k)$ なら、$s > k$ に対しても、
$C = \pi_s^{-1}(B_s)$ と書けています。
$B_{k+1}$ は $B_k \times \mathbb{C}^n$ のようなものであり、
$\mathbb{L} = [\mathbb{C}]$ と
$[B_{k+1}] = [B_k \times \mathbb{C}^n] = [B_k]・[\mathbb{C}^n]$
から、このように指数をつけることにより、
cylinder set に対する measure が well-defined に
なります。
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
質問３(N)：
Montgomery の本の pp. 45--46 に，変分法において $C^1$-topology
は correct topology ではなく，$H^1$-topology が correct topology であり，
Martinet curve は，$H^1$-topology を入れた variety の singularity
である，云々，とありますが，これはどういうことでしょうか？
誰か，説明してもらえませんか？
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
関係各位
こんにちは石川剛郎です．
E-mail 勉強会のレビューが届いたので，公開いたします．
また，それとは別の方から質問を受けたので，それもお知らせします．
(原則，レビューは記名，質問は匿名，質問に対する回答は記名とします．)
それに応じて，
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/benkyo.html
も更新しています．
いろいろ励ましのメールを頂いています．改めて感謝いたします．
では，引き続きよろしくお願いいたします．
２００３年５月２８日 石川 剛郎
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２００３年５月２８日 泉 脩藏さん(近畿大)によるレビュー
Craw は電車などで時間を見つけて第３節の途中まで
読みました．2.2は Kuo さん，小池さんと書いた
福井不変量でやったことと同じようなことでした．
全般に上手くこなしてあるので読みやすいが，
代数幾何学の重みがのしかかる
Introduction と, ３節
は，まあ呪文のようなものと解釈して勝手に安心しています．
よくわからないことは， p.8 の measure につける
$\mathbold{L}$ の指数 $-n(k+1)$ のとり方です．
あとの計算の中で活きているのでしょうが
実感的に納得していません．
並べて abstract も concrete も，作るは楽，学ぶは苦
ということになりますか．（楽は楽しいということです．）
Non-holonomic は興味があるけど時間が無いので
本をながめただけです．
昨今，生来のメモリー狭小性と加齢による揮発性の
multiplicative な作用によりにより，
砂に書いた恋文のような勉強の道です．
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質問２(N)：
(Montgomery の本の)
「Theorem2.2(Chow's theorem)のところで
逆は成り立たないのですが，どんな条件の時成り立つのでしょうか？
条件をなんか加えて逆が成り立つのはいつか」
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先頭に戻る．
関係各位
こんにちは石川剛郎です．毎度お騒がせしている
E-mail 勉強会の件ですが，
はやいもので，開始して２週間経ったので，
まず，僕(石川)の現状報告をします．
石川剛郎の現状報告：
Non-holonomic 部門は，
今週(２００３年５月２０日〜２６日)は，
第２章は流し読みして，やっと第３章に入って abnormal minimizer
の存在確認のところを読みはじめたところです．
Motivic 部門は，
今週(２００３年５月２０日〜２６日)は，主に2節を読み直しながら，複素多様体上
の non-holonomic system に対する integral (horizontal) formal arc space に対
して，motivic integration の理論 (つまり，motivic integration with
differential equations) が 展開できるか，妄想を重ねておりました．
ということで，恥ずかしながら，予定通りに行きませんでした．
(予定通りに行かないのは，いつものことですが)．
そこで，猶予期間を設けることにして，次回 E-mail 勉強会は，前回のつづきで，
設定期間：2003年６月９日(月)〜６月２３日(月)
モチーフ積分テキスト
A. Craw, An introduction to motivic integration, arXiv:math.AG/9911179
4. Calculating the motivic integral.
5. The McKay correspondence.
(で，Craw の論文は完了！)
非ホロノーム幾何テキスト
R. Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometry, Their Geodesics and
Applications. Mathematical Surveys and Monographs, vol. 91, 2002.
Ch.5 Singular curves and geodesics.
Ch.6 A zoo of distributions.
といたします．
なお，設定期間は，僕(石川)が勝手に決めているので，
あまり気になさらず読んでください．
過去のテキストについても，質問(匿名)，レビュー(記名)等，随時受け付けています．
少しずつ反響も出始め，問い合わせのメールも来ています．
気軽に，いつでも，どんな形でも結構ですので，ご参加ください．
修士の方の参考になるような基礎的文献，用語解説や，
オブザーバーの方のためになるような関連情報
もだんだんと集めていきたいと考えております．
興味のありそうな研究者の方，学生の方などを御存じでしたら
紹介頂ければ幸いです．
E-mail での連絡・情報提供・問い合わせをお願いいたします．
一応，現在までの情報を web page に載せました：
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/benkyo.html
からたどれます．
では，引き続きよろしくお願いいたします．
２００３年５月２６日
石川剛郎
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関係各位
E-mail 勉強会の件ですが，開始して１週間経ったので，
僕(石川)の現状報告をします．皆さんはいかがでしょうか？
石川剛郎の現状報告：
Motivic 部門は，
Craw の２週間分の指定範囲全体を一応一通り流し読みしました．
記述は大体明解でよいですが，Mirror symmetry との関係，
代数幾何の流れの中での位置付け，等をもっと知りたいですね．
Non-holonomic 部門は，
現在，やっと第１章を一通り読みました(流し読み的)．
何かと忙しく，身を入れて読めていないのが残念ですが，
若干でも知識が増え，知的な飢えが満たされているのは自覚できて
いるので，これからも，なんとか無理せずがんばりたいと考えています．
一応，現在までのレビュー等を web page に載せました：
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/benkyo.html
からたどれます．関連情報も随時加えていく予定です．
ご近況，ご意見，ご質問，レビュー，関連情報など，なんでも結構ですので，
連絡いただければ幸いです．
(公開の指定がない部分(私信)は，もちろん公開いたしません)．
では，御多忙のことと存じますが，引き続きよろしくお願いいたします．
２００３年５月２０日
石川剛郎
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関係各位
こんにちは石川剛郎です．
毎度お騒がせしているE-mail 勉強会の件ですが，
言い忘れましたが，
E-mail 勉強会での使用用語は(日本語と)
Broken な Tex 語(Broken Texnish ?)
とします．
E-mail で数学の議論をするとき，数式は通常
Tex で書くと思うので，それに従います．
あえて compile したりする手間は省きます．
したがって，
あまり複雑な数式や高級な command や local command
はなるべく避けてください．(もし使う場合は，補足説明があった方がよいです)．
たとえば，
質問：Craw の論文の p.12 で $\dfrac{1}{L^i - 1}$
は $R$ ($R$ は $K_0(V_\C)[L^{-1}]$ の completion) の中で
ちゃんと意味を持つのですか？
%(\C は複素数，\dfrac は displaystyle の \frac)．
といった具合です．(面倒でも，$ は付けておいた方が，後でまとめて
compile するような場合に便利だと思います)．
では，引き続きよろしくお願いいたします．
２００３年５月１５日 石川 剛郎
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関係各位
こんにちは石川剛郎です．
北海道の桜も終わりに近付いた今日この頃，御多忙のことと存じます．
さて，
E-mail 勉強会の件ですが，ゴールデンウィークの間に，
次のように第１回のテキストを決めてみました．
(だいたい，すでにお知らせした通りのものですが)いかがでしょうか？
これらを，今日(５月１２日)から２週間(!!)の目標で(５月２６日までに)
一緒に読みましょう．
● モチーフ積分についてのテキストは，
A. Craw, An introduction to motivic integration, arXiv:math.AG/9911179
の
2. Construction of the motivic integral.
3. Hodge numbers via motivic integrations.
A. Why 'motivic' integration?
の部分を特定します．
● 非ホロノーム幾何については，
R. Montgomery,
A Tour of Subriemannian Geometry, Their Geodesics and Applications.
Mathematical Surveys and Monographs, vol. 91, 2002.
の
Ch.1 Dido meets Heisenberg.
Ch.2 Chow's theorem: Getting from A to B.
Ch.3 A remarkable horizontal curve.
Ch.4 Curvature and nilpotentization.
の部分を指定します．
両方または一方だけを読んで，用語や議論に関する疑問点，
感想，要約(要するにどういうことが書いてあるのか)，裏情報，などなど，
何でも良いので， E-mail で僕(石川)に送ってください．
寄せられた疑問点については，まとめて(匿名で)公開し，その上で
情報を出し合うのがよいと思います．
その他の意見，レヴュー等で，(誰からの情報であると)公開してよい部分は，
E-mail のなかで，
「ここから公開．．．．．(○山△太郎)ここまで公開」
という具合に明示してください．
なお，
「すこし分量が多い」
と感じる方も多いかも知れませんが，
ある程度の量を読み込まないと，わかるものもわからない，と思うので，
"Mathematical shower"といった感じで軽く読んで頂ければと思います．
「もっと面白い部分を読みたい」
と感じる方もいらっしゃるかと思いますが，
期間を限っているので，基礎的な部分から読み始めても，十分面白い部分
に到達できる予定です．
「時間が取れない」
場合は，流し読みでも部分読みでも結構です．
でも，なるべく空き時間を見つけて，集中して読んで(眺めて)みて，
感想を頂ければと思います．
たぶん，少なくとも僕(石川)は１週間目くらいに
「経過報告」をする予定です．予定はあくまで予定ですが，
その際，読んでみてわからない部分は(たくさんあると思いますので)
遠慮なく皆さんに質問しようと思っています．
その際は情報，示唆等よろしくお願いいたします．
ということで，今後どういう感じになっていくかわかりませんが，
ここに，E-mail 勉強会の開始を宣言したいと思います．
勉強会の進め方等についての御意見も引き続きお寄せください．
近くの興味のありそうな方，学生さんなどがおられましたら，
どんどん誘ってください．(一応，まじめな勉強会です)．
なお，今までの情報は，
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/benkyo.html
に掲載してあります．
では，よろしくお願いいたします．
2003年５月１２日 石川剛郎
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関係各位
こんにちは石川剛郎です．
ところで，唐突ですが，
e-mail 勉強会をそろそろ始めたいと思います．
何人かの方からメールで具体的な勉強会の進め方に関する質問を頂きました．
以下のように進めたいのですが，いかがでしょうか？
何ともルーズなやり方
ですみません．
では，よろしくお願いいたします．
● E-mail 勉強会の具体的な進め方(案)
(1)
１つ(または複数)の論文を決めて，参加者全員がめいめい読む．
期間を決めて読む．
何か連帯感が生まれてきて楽しい．
オブザーバーは，おもしろそうだなあ，という時点で読みはじめる，
(読まなくてもよい)，
ということで，
拘束力はまったくない(拘束されて数学したくないので)形式にします．
拘束力は自分自身にあり，ということでしょうか．
(2) この過程で，質問や知見をe-mail で出し合いそれを公開し，
各人の理解を深めていく，
それだけで十分やりがいがあるかな，と考えています．
具体的方法としては，
論文を読んだ報告・質問・感想・意見(場合によっては言い訳)
を僕(石川)あてにメールしてもらって，
「勉強会で公開してもよいという部分について，
改めて，メーリングリスト全員にメールする．
ときどきまとめて，Web page にのせておいて
参照してもらう」
という形にします．(メーリングリストは，基本的に僕(石川)の数学仲間です．
特異点関係と，シンプレクティック・接触幾何関係．でも「もれあり」)
(3) テキスト選びが重要になりますが，
ゴールデンウィークの間にテキストを決定します．
(まだ，テキストは決まっていないですが，上に
テキスト候補を載せています．参考にしてください)．
「１つの論文を分担して読む」のも良いですが，
分担すると，読み手の理解内容を共有するためには，その分担した人が
何かレポートを書かなければいけなくなり，
負担がかなり大きくなると予想できるので，やめました．(本業第一!)
でも，
１１月の数理研の研究集会では，「reviewer」 を何人かに分担してお願いする
予定です．
その節はよろしくお願いします．(立候補大歓迎!)
それ以外に，
「概念鑑賞会」
(辞書)などの斬新な企画も現在つぎつぎ検討しています．
ご意見，アイディアのある方は連絡をください．
では，引き続きよろしくお願いいたします．
２００３年４月２８日 石川剛郎
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関係各位
こんにちは石川剛郎です．
今回，e-mail 勉強会なるものを立ち上げたいと思います．
何を勉強するかというと，唐突ですが，
モチーフ積分と非ホロノーム幾何
です．それぞれ適当なテキストを決めて，「読んでみてもよい」
という人が分担して読んで，いろいろ質問・感想・数学観を出し合い，
楽しくやろうという会です．オブザーバーも歓迎します．
一応，９月に札幌で開かれる特異点の国際研究集会
の話がわかるようになることと，１１月末に数理研で開く研究集会のための
勉強会という目的があります．
「モチーフ積分」と「非ホロノーム幾何」は扱われる分野も従来は
別々で，今のところまったく関係ないように感じられるかも知れませんが，
将来的に関係が生じる(少なくとも個人的な)予感があります．
(両方とも曲線の空間の話だし)．まあ，「だめもと」で，何かの刺激になればよいかな，という具合に考えております．
テキスト候補はいまのところ，
「モチーフ積分」に関しては，
A. Craw, An introduction to motivic integration, arXiv:math.AG/9911179
か，Denef-Loeser の論文あたりを予定しています．
(当初，Looijenga の論文を読もうかと
思ったのですが，少し難しかったので変えました)，
「非ホロノーム幾何」に関しては，
R. Montgomery,
{\em A Tour of Subriemannian Geometry, Their Geodesics and Applications.}
Mathematical Surveys and Monographs, {\bf 91} 2002.
を予定しています．
では，われこそは，という返事を期待しています．
御意見，御感想，これを勉強したら，といった suggestions なども
大いに歓迎いたします．
では，御多忙のことと存じますが(今後とも)よろしくお願いいたします．
２００３年４月石川 剛郎
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こんにちは石川剛郎です．
ところで，私(石川)が提案書を出していた
２００３年度の数理研での特異点の研究会
「特異点論における新しい方法と対象」
が採用されました．
開催期間は２００３年１１月２５日(火)から２８日(金)です．
今年は，９月に札幌で国際研究会があり，皆様御多忙と存じますが，
数理研の研究会の方にも参加頂ければ幸いです．
研究集会の内容は
Motivic integral と non-holonomic geometry の勉強会＋講演
という予定です．９月の研究集会のための勉強も兼ねて，
そのうち，関連した「e-mail 勉強会」を立ち上げる予定ですので，
そちらへの協力も併せてお願いいたします．
では，今後ともよろしくお願いいたします．
２００３年２月石川 剛郎
「E-mail 勉強会で気が滅入る」
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