【 レビュー集 Non-holonomic 編 】

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２００３年７月２２日　森本 徹さんによるレビュー

Montgomery の本 Chap. 7 のintroduction (pp.95- 96)で， 著者はこう書いている：
B. Bor and I, with the help of B. Bryant, showed that the largest possible symmetry algebra for the elliptic distributions of growth (4,7) is the 21-dimensional Lie algebra sp(2,1). ... The method provides a way to realize these maximal-dimensional symmetry algebras, as well as all of the possible small symmetry algebras. I know of no other method can yield results approching these.
しかし， the 21-dimensional Lie algebra sp(2,1) に到るのには，もっと簡明な（少なくとも筋道のよく分かる） 道があります．
また　pp. 96 , 3行目からの文：
A warning is in order. The Cartan method of equivalence is sometimes referred to by experts as an algorithm. I have found it as much an art as an algorithm. ...
を目にし：
それを algorithm と明言しうる資格をもった人がいるだろうか． しかしart に止まっていてはいけない．．．． などと独り言を言っています．
以下の順に，少しコメントしたいと思います．

１．The Cartan method of equivalence とその後の発展．
２．幾何構造の方法，特に，巾零幾何の方法が subriemannian structure にどのように適用されるか．
３．Subriemannian contact manifold.
４．The elliptic distributions of growth (4,7)．
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
１．The Cartan method of equivalence とその後の発展 （Mor93 の序文，あるいは Mor02 pp219-220 参照）．

２０世紀はじめ．カルタンは無限次元リー群の構造を明らかにするために 今日のG-構造にあたるものを考え，任意の無限次元リー群は， あるG-構造の同型群として定義されることを示し，G-構造の構造方程式を確立 している．
群が無限次元ならばG-構造は infinite type となり，ここでは特に involutive な G-構造がinvolutive な偏微分方程式系と結びつき重要な 役割を演じる．
G-構造がfinite type の時は，同型群は有限次元リー群となり，この G-構造に たいする同値問題は，絶対平行性の幾何に帰着し，解析的には常微分方程式に 帰着する．
Cartan は Klein の思想を発展させ，絶対平行性の中でも特に重要なものとして， espace generalise（ 即ち，カルタン接続を持つ bundle ）というものを創案した． この構造においてはその不変量が群論的に分かりやすい形で表されるのが 大きな特徴・利点である．
与えられた構造に対して，常にカルタン接続が付随するわけではない． 従ってカルタン接続を構成することは特別重要な意味を持つことになる． カルタンは１９１０年の５変数でのPfaff系の論文おいて，growth (2,3,5) の distribution に対して巧妙難解な方法でカルタン接続を構成している. （ Montgomery の本でも何度も言及されている）．また，後に，射影構造，共形構 造，３次元 CR構造 に対してもカルタン接続を構成している．　
５０年代に入りEhressmannらによりカルタンの方法はようやく現代的な概念 の中で定式化され出す． G-構造の定義は Chern によって与えられる．
Singer-Sternberg の論文はG-構造とLie pseudo-groupについて極めて明解な考察を 展開しカルタンの方法の重要な側面を現代的な立場から明らかにする．
しかし，これによってカルタンのアイデアと方法が完全に明らかになった わけではない．

第１に，上述のカルタンの５変数の論文がその典型的な例だが，カルタン接続の 構成は，G-構造の理論だけからは容易には説明ができない．
第２に，幾何構造の同値問題を一般的に考察し遂行するのに G構造の枠組み だけでは不十分である．
田中は，CR 構造にたいするカルタン接続の構成やカルタンの５変数の論文の 研究を通して，それらをさらに発展させ「微分式系の幾何」を展開する． 我々が巾零幾何と呼ぶものはここから始まる．単純リー環に付随した幾何構造に 対するカルタン接続の構成は特に重要な成果である．
森本は，towerの概念を導入し，フイルター付き多様体上のtower という定式化 の中で幾何構造の同値問題を一般的に考察する枠組みを構築する．ここにおいて G-構造，カルタン接続，微分式系の理論が統一的な視点の中で融合される． weighted involutive の新概念がinfinite type の時には中心的な役割を演じ， finite type の時は，カルタン接続が存在するための（おそらく best possible な ）判定条件がが得られ， 簡明な構成法が与えられる．
また，カルタン接続ができるとき，不変量の在処を特定するのに， 対応するリー環に付随したgeneralized Spencer cohomology group を計算する ことが重要となる．山口は Kostant の方法を用いて詳しく計算を遂行している．
一方，Chern, Gardner, Bryant の系譜がある．カルタンの方法の実践的応用の 流派というべきだろうか，Montgomery はこの流れを汲んでいる． Singer-Sternberg を引用していないのも特徴的だが，通常は frame bunndle を 用いるのを coframe bundle で通しているのもおもしろい．

References (incomplete):
%Cartan, E. \ref\key Car04 \by \quad \quad \'E. Cartan \paper Sur la structure des groupes infinis de transformations \jour Ann. \'Ecole Norm. Supp. \vol 21 \yr 1904, 1905 \pages 153--206, 219--308 \endref

\ref\key Car10 \by \quad \quad \'E. Cartan \paper Les syst\`emes de Pfaff \`a cinq variables et les \'equations aux d\'eriv\'ees partielles du second ordre \jour Ann. \'Ecole Norm. Supp. \vol 27 \yr 1910 \pages 109--192 \endref

%Cartan 4 \ref\key Car31 \by \quad \quad \'E. Cartan \paper Notice sur les travaux scientifiques \jour \'Elie Cartan Oeuvres compl\`etes, Partie 1, Volume 1 \vol \yr 1952 \endref

\ref \key Mor93 \by \quad \quad T. Morimoto \paper Geometric structures on filtered manifolds \jour Hokkaido Math. J. \vol 22 %No. 3 \yr 1993 \pages 263--347 \endref %pno 12

\ref \key Mor02 \by \quad \quad T. Morimoto \paper Lie algebras, geometric structures and differential equations on filtered manifolds \jour Advanced Studies in Pure Mathematics \vol 37 \yr 2002 \pages 203- 252 \endref

\ref \key SS65 \by \quad \quad I. M. Singer and S. Sternberg \paper On the infinite groups of Lie and Cartan, I \jour J. Analyse Math. \vol 15 \yr 1965 \pages 1--114 \endref

%Tanaka 5 \ref\key Tan70 \by \quad \quad N. Tanaka \paper On differential systems, graded Lie algebras and pseudo- groups \jour J. Math. Kyoto Univ. \vol 10 \yr 1970 \pages 1--82 \endref

%Tanaka 8 \ref\key Tan79 \by \quad \quad N. Tanaka \paper On the equivalence problems associated with simple graded Lie algebras \jour Hokkaido Math. J. \vol 8 \yr 1979 \pages 23--84 \endref

%Yamaguchi, K. \ref\key Yam93 \by \quad \quad K. Yamaguchi \paper Differential systems associated with simple graded Lie algebras \jour Adv. Studies in Pure Math. \vol 22 \yr 1993 \pages 413--494 \endref

\ref\key Yam93 \by \quad \quad K. Yamaguchi and T.Yatsui \paper Geometry of higher order differential equations of finite type associated with symmetric spaces \jour Adv. Studies in Pure Math. \vol 37 \yr 2002 \pages 397--458 \endref

２．幾何構造の方法，特に，巾零幾何の方法が subriemannian structure にどのように適用されるか．

$(M, D, g)$ をsubriemannian structure とする．ここで $D$ は $TM$ の subbundle，$g$ は $D$ 上のリーマン計量である．　　　

$g$ は $F^{-1}$ 上の計量を与えているので，$(M, D, g)$ はフィルター付き多様体 $(M, F)$ 上の幾何構造と捉えることができ． まさに巾零幾何の方法が適用されるのである． （$(M, F)$ の各点 $x$ において，symbol algebra と呼ばれる階数付き巾零リー環 $gr_x F$ が決まる．この巾零リー環を空間の第１近似として展開される幾何理論を 巾零幾何と呼んでいる．）
この方向での最初の基本的な結果は， 任意の subriemann 構造$(M, D, g)$に対して，然るべきregularity condition の 下では，これに付随したカルタン接続が構成できる，ということである．
カルタン接続の構成には，森本の判定法と構成法を適用する． （この結果は今年１月の呉での研究集会で報告した．）
このようにして，subriemann 構造の不変量は原理的には付随するカルタン接続 の曲率から得られることになるが，subriemann 構造に対応する symbol algebra は 多様で変化に富んでいるので各論が重要になり，いろいろな問題がある．

３．Subriemannian contact manifold.

最も簡単な non-trivial な subriemann 構造の一つは subriemaniann contact manifold であろう．subriemaniann contact manifold の curvature というべき 不変量はどのように見つかるだろうか． ３次元の場合，Montgomery の本にかなり詳しく説明されているが，この場合でも 既にかなり込み入っている．
我々の方法によると，３次元に限らず一般次元の場合にも，カルタン接続を構成 することにより曲率の在処がはっきりと分かる．　
これを元にして，等質な subriemannian contact manifold を分類することは ある程度実行可能な興味深い問題だが，これについては大学院生の北川君と 研究を進めている．

４．The elliptic distributions of growth (4,7)

Montgomery は 彼自身 art と言いたくなるような複雑巧妙な方法で elliptic distributions of growth (4,7)　の automorphism group は高々２１次元で，この最高次元に達するときsymmetry algebra は sp(2,1) になることを示している．
これは，カルタンの５変数空間のPfaff式系と並んで，カルタン接続のできる 興味深い例である．
(M, D) を７次元多様体上の rank 4 の distribution とする． これが growth (4, 7) で　Montgomery の意味で elliptic type ならば， $D$ から決まるfiltration は深さが２で，その symbol algebra $ g_{-} = g_{-2} \oplus g_{-1} $ は次の形で与えられる： $g_{-1}　= Q (the quaternios), g_{-2} = P ( the pure quaternions ) [x, y ] = - x^{\iota}y + y^{\iota}x (for x, y \in Q) $. このリー環 $g_{-}$ の prolongation は単純リー環 $sp(2,1)$ になることが確かめられる．従って，田中の定理により $sp(2,1)$型のカルタン接続が構成できるのである．
これはまたCR構造の quaternion 版とみることもできる．
なお，hyperbolic distributions of growth (4,7)に対しても同様であると 書いてあるが，まだゆっくり考えていない．
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２００３年７月２２日　石川 剛郎によるレビュー

Montgomery の本の第７章のレビュー(つづき)
7.9 では，Cartan の方法の筋道を説明し，キーとなる "framing lemma" を手際良く証明している． さらに，その一般論をまず Riemann 多様体の局所自己同型群の次元の 評価に応用している．
7.10 では， ３次元の場合の接触構造上の sub-Riemann 構造の場合の 局所不変量を決定している．Agrachev, Gauthier 達の局所不変量との 関連については open か．7.9 と 7.10 はもう一度読み返したい節である．
7.11 では，pseudoconnection の必要性を注意し，7.12 では， (4, 7) タイプの distribution の局所同型群の次元の評価を与えている．
２００３年７月１５日　石川 剛郎によるレビュー

Montgomery の本の第７章のレビュー
第７章は，distribution の分類問題に対するCartan の方法の紹介である．
7.1 では Keywords である "reduction" と "prolongation" が提示される．
7.2 では，Riemannian surface $Q$ (リーマン面．あくまで oriented $2$ 次元リーマン多様体の意味． しかし，$SO(2) = U(1)$ なのでもちろん Hermite 複素構造が入る) の orthonormal coframe bundle $B$ の上の tautological one form $\Theta$ を導入し， connection $1$-form $\alpha$ と Gauss curvature $K$ を説明している．
7.3 は $G$-構造の解説である($G \subseteq GL(n, \R)$)．
% \R は実数全体．
この本の主対象である distribution や sub-Riemannian structure も $G$-構造である！
7.4 は $G$-structure 上の tautological $1$-form を定義している． そして，基本的な命題「$G$ が連結のとき， 二つの $G$-structure が局所同値 $\Leftrightarrow$ tautological $1$-forms を移し合う局所微分同相写像がある」 を紹介している．
7.5 では (equivariance を仮定しない)pseudo-connection と torsion を，7.6 では torsion space $H({\mathfrak G}) = H^1(V, {\mathfrak G})$ ($V = \R^n$) と intrinsic torsion を導入している．
7.7 では， distribution に対して，7.5 の意味の intrinsic torsion と 第４章の 意味の curvature が一致することを注意している．
7.8 では，Riemannian case は torsion space が消えることを 説明している．
ああ，おもしろかった．
現在の非ホロノーム幾何テキスト(2003年７月７日(月)から７月２１日(月))
R. Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometry, Their Geodesics and Applications. Mathematical Surveys and Monographs, vol. 91, 2002.
Ch.7: Cartan's approach.
Appendix D: Calculus of the endpoint map and existence of geodesics.
２００３年７月７日　石川 剛郎によるレビュー

Montgomery の本の第６章のレビュー
この章では，non-holomorphic 幾何の舞台となる manifold-with-distribution のいろいろな例， contact, Engel, Grousat, Jet, rolling surface, ...を説明している．
個人的には，6.10 の instanton distribution (quaternionic Hopf fibration) と Mostow rigidity の関係の部分 の説明が目新しかった．
２００３年７月４日　足立二郎さんから

まず，これは少し注意しなければいけないと思うのですが， どこからか，``type $(n,k)$" と ``with growth vector $(a,b)$" が 混乱していると思います．
例えば， P86. L-11. の type(3,5) and of (2,3,5) は，growth vector だと思います．
あと，ミスプリントと思われるのは，次のものです．

P86. L-3. $w\colon \mathcal{E}^\perp\to\bigwedge^2\mathcal{H}^\ast$ --> $w\colon \mathcal{E}^\perp\to\bigwedge^2\mathcal{E}^\ast$
P86. L-3. $\bigwedge^2\mathcal{H}\to TQ/\mathcal{E}$ --> $\bigwedge^2\mathcal{E}\to TQ/\mathcal{E}$
P87. L+15. $P\mathbb{H}_q$ --> $P\mathcal{H}_q$
P87. L-7. $\ker(w(\lambda)$ --> $\ker(w(\lambda))$
P87. L-3. 5.4 --> 5.5
２００３年６月２３日

Montgomery の本の第５章のレビュー(つづき)

5.3 では，singular geodesic と regular geodesic と normal geodesic と abnormal geodesic の違いを明解に解説している．5.4 で，特に rank 2 の場合に言及している．

5.3 では，distribution がその singular curves だけによって確定するか，という determinacy problem を扱っている．特異点の分類の問題意識に近いものを感じる． 5.6 では，関連して，fat distribution の概念を導入し，性質を調べ，例を与えている．

第６章は読み始めたばかりである．
２００３年６月１７日

Montgomery の本の第５章のレビュー(途中)

5.1 は，特異曲線(singular curve) の定義を与えている． singular curve は，終点写像(endpoint mapping) の特異点である．endpoint mapping は， １点から発する水平曲線(horizontal curve) に対して，その終点を対応させる写像である． したがって，endpoint mapping は，horizontal curves (integral curves) の空間からの 写像である． その写像の「特異点」を議論するためには， horizontal curves の空間に「微分構造」を入れなければならない． 微分構造の詳細は，Appendix D に書いてある．

5.2 では，characteristic の概念を説明し，singular curve と characteristic の同値性を，endpoint mapping の微分を調べる ことにより証明している．おもしろい．

なかなかの力作な(= 解説の仕方のオリジナリティーが高い)ので， 読むスピードがガクンと落ちてきました．大切な絵本を楽しみながらゆっくり読む 子供のような心境です．(実は，微分幾何の問題集の投稿原稿書きや， 急に読まなくてはいけない論文があったり，昔のpreprintいじりをしたり等で， "雑用"はさぼっているにもかかわらず，それでも時間が取れなかったと いうのが正直なところです．．．)
「テキストが難しすぎて，ようSussmann」
現在の非ホロノーム幾何テキスト(2003年６月９日(月)〜６月２３日(月))
R. Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometry, Their Geodesics and Applications. Mathematical Surveys and Monographs, vol. 91, 2002.
Ch.5 Singular curves and geodesics.
Ch.6 A zoo of distributions.
２００３年６月６日

Montgomery の本の２章の内容は，Chow の定理と，それに関係して， Ball-Box Theorem (球箱定理)を紹介している． また，Hausdorff measure，Hausdoeff dimension について論じている．
Chow(-Rashevsky)の定理は，「distribution が bracket degerating で，base manifold が connected のとき， 任意の２点が，horizontal (integral) curve で結べる」というものだが， これは，non-holonomic distribution の一番注目すべき性質であろう．
第２章は，基本的部分なので，また日を改めて読み直したいと思っている．

Montgomery の本の４章の内容は，sub-Riemannian metric を与える前の， non-holonomic (bracket generating) distribution に関する基本的な構成， すなわち，曲率と，nilpotent graded Lie algebra (nilpotentization) の 導入である．
4.1 では，distribution の曲率を定義し，4.2 では， その dual と，外微分との関係を論じている． 4.3 では，distribution に対応する differential forms の ideal から構成される derived ideals を導入し，4.4 では， distribution の "regular point" に対し nilpotentization を定義している．
4.5 では， Carnot group の定義を与えている．nilpotent Lie algebra に対し，単連結 nilpotent Lie group が対応するが， その Lie algebra が"最低次数"の部分で生成される場合， その 単連結 nilpotent Lie group を Carnot group と呼んでいる． したがって，もともとの distribution が bracket generating の場合，各点に対して，Carnot group が定まるわけである．
4.6 では，non-regular point での nilpotentization に関して 少しだけ触れている．Engel algebra の文字が見える．
4.7 に nilpotentization の歴史的コメントが簡単に記されている． 誰か，この部分を補ってほしい．
２００３年６月３日

Montgomery の本の３章の内容は，abnormal minimizer (Hamiltonian flow line の projection ではない geodesic) の存在についてである． Mongomery によって最初に確認されたこの事実の， Liu-Sussmann による証明を紹介している． 個人的には， p.41 の，Sub-Riemannian metric を与えたときに，それに関する orthonormal frame を簡単に形にするような座標をとっていく，という手法は参考になった． (Martinet normal form 上の metric の標準形を考える， というのではないところが参考になった．同じことだけど)．

3.9の歴史的レビューは一読に値する． Lagrange 乗数法の誤った使用の話は教訓的である．
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テキスト(2003年５月１２日(火)〜５月２６日(火))：
R. Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometry, Their Geodesics and Applications. Mathematical Surveys and Monographs, vol. 91, 2002.
Ch.1 Dido meets Heisenberg.
Ch.2 Chow's theorem: Getting from A to B.
Ch.3 A remarkable horizontal curve.
Ch.4 Curvature and nilpotentization.
2003年５月26日　石川 剛郎さんによるレビュー

第２章〜第４章：支度中です．
2003年５月20日

第１章：sub-Riemann 幾何の導入のうまさにうなる． Heisenberg group の場合の具体的な計算を交えながら，手際良く， Hamiltonian geometry と関係した基本概念を導入している． Lorentz 方程式やcalibration などと関連させていて面白く読める． 1.9 で Hamilton-Jacobi 理論を使って calibration を構成し， normal geodesic (sub-Riemann Hamiltonian flow の射影) が 局所最短曲線であることの証明を与えている． 1.10 のExamples は，sub-Riemann 幾何や非ホロノーム幾何の 動機付けとなるものであり，一読に値する．
「Montgomery もう読みたくないもんとごねり」「ドラえもんとゴロ寝」
「E-mail 勉強会で気が滅入る」
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