【レビュー集 Motivic 編】

形式任意．投稿大歓迎．

２００３年７月７日(月)から７月２１日(日)までのモチーフ積分テキスト
J. Denef, F. Loeser, Geometry on arc spaces of algebraic varieties. European Congress of Mathematics, Vol. I (Barcelona, 2000), 327--348, Progr. Math., 201, Birkhauser, Basel, 2001.
1. Introduction.
2. The arc space of a variety.
3. The motivic zeta function of a regular function.

２００３年６月２３日　

Batyrev の証明の可換な場合の証明(pp.27--28)を読みました．よくわかりませんでした．それで，Reid のブルバキセミナーの解説( link )を読もうかなと思いました．

２００３年６月１７日　

Motivic の方は， 4.1 は眺めて，4.2 の examples はスキップしました．(踊ったわけではない)． (解説の仕方にオリジナリティーを感じなかった)．現在第５章の Reid による一般化されたMcKay 対応の予想に対する， Batyrev の証明の可換な場合の証明(pp.27--28)を読み始めたところです．

現在のモチーフ積分テキスト(2003年６月９日(月)～６月２３日(月) )
A. Craw, An introduction to motivic integration, arXiv:math.AG/9911179 link
4. Calculating the motivic integral.
5. The McKay correspondence.

２００３年５月３０日　小池敏司さんのメール．

兵庫教育大学の小池です。
E-mail 勉強会の泉さんの質問を拝見しました。

「よくわからないことは， p.8 の measure につける $\mathbold{L}$ の指数 $-n(k+1)$ のとり方です．あとの計算の中で活きているのでしょうが実感的に納得していません．」

Adam との motivic に関する最近の共著の論文において、我々も Denef-Loeser に習って同様の指数をつけました。

cylinder set $C = \pi_k^{-1}(B_k)$ なら、$s > k$ に対しても、 $C = \pi_s^{-1}(B_s)$ と書けています。

$B_{k+1}$ は $B_k \times \mathbb{C}^n$ のようなものであり、 $\mathbb{L} = [\mathbb{C}]$　と $[B_{k+1}] = [B_k \times \mathbb{C}^n] = [B_k]・[\mathbb{C}^n]$ から、このように指数をつけることにより、 cylinder set に対する measure が well-defined になります。

２００３年５月２８日　泉脩藏さんによるレビュー

Craw は電車などで時間を見つけて第３節の途中まで読みました．2.2は Kuo さん，小池さんと書いた福井不変量でやったことと同じようなことでした．全般に上手くこなしてあるので読みやすいが，代数幾何学の重みがのしかかる
Introduction と, ３節
は，まあ呪文のようなものと解釈して勝手に安心しています．
よくわからないことは， p.8 の measure につける $\mathbold{L}$ の指数 $-n(k+1)$ のとり方です．あとの計算の中で活きているのでしょうが実感的に納得していません．
並べて abstract も concrete も，作るは楽，学ぶは苦ということになりますか．（楽は楽しいということです．）

Non-holonomic は興味があるけど時間が無いので本をながめただけです．

昨今，生来のメモリー狭小性と加齢による揮発性の multiplicative な作用によりにより，砂に書いた恋文のような勉強の道です．

「砂に書かれた恋文ならば読み返したい二度三度」(石川剛郎)
(砂 = sand = 三度，という international な掛け言葉を入れた創作都々逸です．失礼しました)．

テキスト(2003年５月１２日(火)～５月２６日(火))：
A. Craw, An introduction to motivic integration, arXiv:math.AG/9911179 link
2. Construction of the motivic integral.
3. Hodge numbers via motivic integrations.
A. Why 'motivic' integration?

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2003年５月26日　

今週は，主に2節を読み直しながら，複素多様体上の non-holonomic system に対する integral (horizontal) formal arc space に対して，motivic integration の理論 (つまり，motivic integration with differential equations) が展開できるか，妄想を重ねておりました．

2003年５月20日　

2.1 では，複素多様体 $Y$ 上の formal arcs (infinite jets) の空間 $J_\infty(Y)$ を導入し，
2.2 では，複素多様体 $Y$ の effective divisor (超曲面) $D$ に対し，その divisor と formal arc との intersection number により， formal arcs の空間上の関数 $F_D$ を定義し，
2.3 では，formal arcs の空間 $J_\infty(Y)$ 上の測度を定義している．ただし，測度の値が，complex algebraic varieties の Grothendieck ring を，$L = [\C]$ で localize したものの completion ($p$-adic number を作るときのような？)に値をとるところがミソ．
%\C は複素数全体．
2.4 で，その測度について $F_D$ を積分して，motivic integral を定義し，$D$ が normal crossing の場合に， motivic integral の計算公式を与えている．
2.5 では，さらに， motivic integral の"座標変換公式"を("discrepancy divisor" を使って)与えている．

3.1 では，mixed Hodge structure と Hodge-Deligne number を説明し，complex algebraic variety $X$ に対し，E-多項式 (Euler (?) polynomial) $E(X) \in \ZZ[u, v]$ を定義している．
%\ZZ は整数全体．
3.2 では，2節の motivic integral を使って，stringy E-function $E_{st}(X)$ を定義し，Kontsevich の定理：「高々 Gorenstein 標準特異点のみをもつ complex algebraic variety の crepant resolution $Y \to X$ に対し，$Y$ の Hodge 数は， crepant resolution の選び方に依らない」の証明を，stringy E-function が crepant resolution の取り方に依らないことに注目することで与えている． (crepant resolution $\Leftrightarrow$ 標準因子の引き戻しが標準因子)．

Appendix では，Chow motive との関係について触れている．

「勉強会苦労して読む Craw かな」

「E-mail 勉強会で気が滅入る」

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