第21回数学総合若手研究集会 〜数学の交叉点〜
The 21st Mathematics Conference for Young Researchers

アブストラクト

• 代数
• 幾何
• 解析
• 数理科学

代数

足立 大雅 (Taiga Adachi) 九州大学大学院マス・フォア・イノベーション連係学府

Iwasawa theory for weighted graphs

岩澤理論における岩澤類数公式, 木田の公式の荷重グラフ類似を示す. さらに, 荷重グラフの岩澤理論の手法を応用して, 離散時間量子ウォークの遷移行列の漸近挙動を記述する. 近年, Vallièresらにより, グラフの\(\mathbb{Z}_p^d\)-塔における全域木の数の漸近挙動が記述されていたが, 本研究はその荷重グラフへの一般化に該当する. 本研究は名古屋大学の舘野荘平氏, 水野宏亮氏との共同研究である.
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安藤 遼哉 (Ryoya Ando) 東京理科大学創域理工学研究科数理科学専攻 / 株式会社スキルアップNeXt

On torsion-free modules and semi-hereditary rings

We prove several results concerning the structure theory of semi-hereditary rings, focusing on the relationship between semi-hereditary rings, an important class of rings in theories that do not necessarily assume the Noetherian condition, such as perfectoid ring theory and the flatness of torsion-free modules. We also address Shimomoto's problem concerning the flatness of the Frobenius map.
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今村 悠希 (Yuki Imamura) 大阪大学大学院理学研究科数学専攻

dg圏のホモトピー論に対する形式圏論的アプローチ

dg圏とは、Hom集合が加群の複体の構造を持っているような圏のことをいう。dg圏には擬同値と呼ばれる同値概念があり、すべてのdg圏は擬同値のもとで区別するべきとされる（dg圏のホモトピー論）。 本講演では、dg圏のホモトピー論に対して2圏論・形式圏論の観点からアプローチを行う。形式圏論の理論においては、圏における極限の概念を形式的に定義できる。これをdg圏のホモトピー論に適用することで、dg圏のプレ三角性が一種の完備性として捉えられることを紹介する。
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内海 凌 (Ryo Uchiumi) 大阪大学大学院理学研究科数学専攻

格子への線形な有限群作用と mod \(q\) 置換表現

格子\(L\)への線形な有限群作用が与えられたとき，各正整数\(q\)に対して，\(L/qL\)上の置換表現 (mod \(q\) 置換表現) が定まる．この置換表現や各既約指標に関する重複度，軌道の個数などは，いずれも\(q\)に関する準多項式となる．本講演では，これらの準多項式がもついくつかの性質を紹介するとともに，Weyl群での結果を紹介する．
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貝嶋 優太郞 (Yutaro Kaijima) 大阪大学大学院理学研究科数学専攻

穏健トーリック特異点解消の性質について

穏健トーリック特異点解消とは、Chavez-Martinez,Duarte,安田によって導入された、正規トーリック多様体におけるF爆発と本質因子の関係について考察する中で現れる特別な特異点解消のことである。本公演では、主に3次元の正規トーリック多様体に対し、穏健トーリック特異点解消がいつ存在するか、また穏健トーリック特異点解消を持つとき、それはどのように特徴づけられるかについて紹介する。本講演は、同専攻の山本雄大氏との共同研究に基づくものである。
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軽部 尚香 (Karube Naoka) 大阪大学大学院情報科学研究科情報基礎数学専攻

Dormant opers on elliptic curves

楕円曲線上のdormant oper の性質を説明し、そのあ数え上げを与える。さらにモジュライ的観点にその結果を拡張する。
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鴻池 真斗 (Masato Konoike) 大阪大学大学院情報科学研究科情報基礎数学専攻

A new class of magic positive Ehrhart polynomials of reflexive polytopes

本講演ではStasheff polytopeと対称辺多面体の双対のEhrhart多項式のmagic positive性について紹介する。
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齋藤 琢弥 (Takuya Saito) 北海道大学大学院理学院数学専攻

マトロイドの階数関数の非可換化

マトロイドとはグラフのサイクルの構造や行列の階数などを抽象化した概念であり，有限集合とその冪集合上の階数関数と呼ばれる整数値関数の組として定義される．また，その不変量はグラフの彩色多項式，線形符号の重さ多項式をはじめとする抽象化する前の多くの不変量を一般化していることが知られている．本講演では，階数関数の値域を一般の順序群としたマトロイドの非可換化を考える．
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島崎 達史 (Tatsushi Shimazaki) 神戸大学大学院理学研究科数学専攻

シフトセットタブローとK-theoretic Schur P, Q函数の特殊値について

シフトセットタブローは、K理論的 Schur P、Q函数を組み合わせ論的に表現するため、池田岳氏と成瀬弘氏によって導入された。本講演では、シフトセットタブローの個数に関する性質を、K理論的 Schur P, Q函数の特殊値を用いて述べる。また、K理論的歪 Schur P、Q函数の特殊値からシフト歪セットタブローの個数の特性についても触れる。本講演は、神戸大学の信川喬彦氏との共同研究と、早稲田大学の中山勇祐氏、杉本奨吾氏との議論に基づく。
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菅原 明広 (Akihiro Sugawara) 山形大学大学院理工学研究科博士前期課程理学専攻

3元生成の数値的半群から生じるトーリックイデアルのグレブナー基底

非負整数全体の集合の部分モノイドで, 非負整数全体の集合における補集合が有限集合となるものを数値的半群という. I. García-Marco-Ch. Tatakisは, 数値的半群がfreeという性質をもつことを, それから生じるトーリックイデアルのグレブナー基底を用いて特徴づけた. 本講演では, 3元生成の数値的半群から生じるトーリックイデアルについて, この研究に関連したよいグレブナー基底をもつことがわかったのでこれについて紹介する.
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杉谷 礼 (Rei Sugitani) 筑波大学大学院理工情報生命学術院数理物質科学研究群

余イデアル部分代数を用いたRep(\(u_q(\mathfrak{sl}_2)\))における単純代数の構成

近年，テンソル圏において通常の環論におけるそれを一般化する形で定義される単純代数の概念が注目されている．例えばモジュラーテンソル圏が与えられ，その単純代数がいくつかの条件を満たすとき新たなモジュラーテンソル圏が得られる． 本講演では1の冪根における量子座標環\(O_q(SL_2)\)の余イデアル部分代数とその代数構造を述べる．さらに，それを用いたRep\((u_q(\mathfrak{sl}_2))\)における単純代数の構成例を紹介する．
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助永 真之 (Masayuki Sukenaga) 広島大学大学院先進理工系科学研究科

トロピカル有理関数の最小体積表示

トロピカル有理関数とは二つのトロピカル多項式 \(f\), \(g\) (\(\geq -\infty\)) を用いて \(f\oslash g=f-g\) と表すことができるものである。トロピカル多項式の組に対して体積を定義し、一変数トロピカル有理関数 \(\varphi(x)\) に対して、\(\varphi(x) = -\infty\) を \(f(x)\oslash g(x)\) と表せるような組 \((f, g)\) の中で体積最小なものが \(f\oplus(y\odot g)\) の双対分割の平行移動を除いてただ一つ存在することを示した。一方、\(n=2\) のとき、最小体積表示が一意に定まらないような例があることも示した。
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鈴木 望夢 (Suzuki Nozomu) 東京理科大学大学院理学研究科数学専攻

Newton polygonから計算される整環のindex

MontesとNartはOreの定理を拡張し，整環のindexがNewton polygonから計算される量と一致する必要十分条件を与えた．しかしながら，彼らは定理の証明を省略しており，また与えられた条件には若干の不足がある．本講演では修正した定理を紹介し，講演者がその証明を与えたことを報告する．
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高橋 諒 (Ryo Takahashi) 東北大学大学院理学研究科数学専攻

強 Lefschetz でない Artin Gorenstein 環を作るマトロイドの基底母関数

次数付き Artin Gorenstein 環は斉次多項式を使った表示を持ち、そのような環の強 Lefschetz 性は斉次多項式の高次ヘッセ行列の正則性で特徴付けられる。 前野・沼田は、この斉次多項式がマトロイドの基底母関数であったとき強 Lefschetz 性を持つと予想したが、我々はグラフ的マトロイドによる反例を与えた。高次ヘッセ行列の非正則性を示すため、行列のカーネルに属する非ゼロ要素を具体的に計算した。
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武中 亮 (Ryo Takenaka) 大阪公立大学大学院理学研究科数学専攻

Note on exponents associated with Y-systems

Let \((X_n,\ell)\) be the pair consisting of the Dynkin diagram of finite type \(X_n\) and a positive integer \(\ell\geq2\), called level. Then we obtain the Y-system, which is the set of algebraic relations associated with this pair. Related to the Y-system, a sequence of integers called exponents is defined through a quiver derived from the pair \((X_n,\ell)\). Mizuno provided the conjectural formulas for the exponents associated with Y-systems in his research. In this talk, we present the some results for Mizuno's conjecture. Furthermore, we see the relationship with the theory of cluster algebras and the represnetation theory of affine Lie algebras.
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谷 光一郎 (Koichiro Tani) 大阪大学大学院情報科学研究科情報基礎数学専攻

Initial ideals of genric ideals and variations of Moreno-Socías conjecture

It is known that the initial ideal of a generic ideals is the same. Moreno-Socías conjectured that the initial ideal of generic ideals with respect to the degree reverse lexicographic order is weakly reverse lexicographic. We study the initial ideal of generic ideals for arbitrary monomial order and prove that the initial ideal of generic ideals is Borel-fixed. It can be considered as a very weakened version of Moreno-Socías conjecture. Furthermore, we propose a new method of the computation of the initial ideal of generic ideals using stability condition of Gröbner bases. We apply the method in the case of lexicographic order and study the relationship between the lexsegment ideal and the initial ideal of generic ideals. At the last, we propose questions that can be considered as lexicographic analogue of Moreno-Socías conjecture.
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Tu Binnan (Tu Binnan) department of pure and applied mathematics, graduate school of information science and technology, Osaka University

Unimodular smooth Fano polytopes and their relation with Ewald conditions

Smooth Fano polytopes (SFPs) play an important role in toric geometry and combinatorics. In this talk, we introduce a specific subcollection of them, i.e., the unimodular smooth Fano polytopes (USFPs). They are verified to satisfy the three (weak, strong, star) Ewald conditions. Besides, a characterization of USFPs is provided as a corollary of the famous Seymour’s decomposition theorem. Then, we briefly introduce the works by Luis Crespo on deeply monotone polytopes and show that any deeply monotone polytope is in fact the dual polytope of some USFP. In other words, we extend his results on deeply monotone polytopes to the case of USFPs.
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中岡 周太郎 (Shutaro Nakaoka) 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻

Branching rules for level-zero extremal weight modules from \(U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_{n+1})\) to \(U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)\)

In this talk, we present results on the structure of a \(U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)\)-module \(\Psi_{\varepsilon}^* V(\lambda)\), where \(V(\lambda)\) is the extremal weight module with level-zero dominant weight \(\lambda\) over the quantum affine algebra \(U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_{n+1})\) and \(\Psi_{\varepsilon}: U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n) \to U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_{n+1})\) is an injective algebra homomorphism. We establish a direct sum decomposition \(\Psi_{\varepsilon}^* V(\lambda) \cong M_{0,\varepsilon} \oplus \cdots \oplus M_{m,\varepsilon}\), where \(M_{0,\varepsilon}\) and \(M_{m,\varepsilon}\) are isomorphic to a tensor product of an extremal weight module over \(U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)\) and a symmetric Laurent polynomial ring. Moreover, when \(\lambda\) is a multiple of a level-zero fundamental weight, we show that \(\Psi_{\varepsilon}^* V(\lambda)\) is isomorphic to a direct sum of extremal weight modules.
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中野 竜之介 (NAKANO Ryunosuke) 北海道大学大学院理学院数学専攻

6点で分岐する複素射影直線の4重被覆の周期積分

複素射影直線 \(\mathbb{P}^1\) の \((n+3)\) 点配置空間 \(X_n\) は, 許容列と呼ばれるパラメーター \(\mu = \left( \mu_j \right)_{j=1}^{n+3} \in (\mathbb{Q}\cap (0,1))^{n+3}(n\in \mathbb{Z}_>)\) を指定することで, \(n\) 次元複素超球 \(\mathbb{B}_n\) の稠密開集合を \(\mathbb{B}_n\) の解析自己同型群の離散部分群 \(\Gamma(\mu)\) で割った空間と同型になることが知られている. 本講演では, \(n=3\), \(\mu = (1/4,1/4,1/4,1/4,1/4,3/4)\) の場合に, この同型写像のある代数曲線族の周期と３次元複素超球 \(\mathbb{B}_3\) の4次ジーゲル上半空間 \(\mathfrak{S}_4\) への埋め込みによるテータ関数のひき戻しを用いた構成を紹介する.
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長峰 実央 (Mao Nagamine) 北海道大学大学院理学院数学専攻

パラメータがCoreに属するときの\(A\)-超幾何級数

ジェネリックなパラメータにおける\(A\)-超幾何系の基本解はGel'fandらによって示されている．パラメータが特殊な場合はOkuyama, Saitoによって，特定の条件下でフロベニウスの方法の適用が確認された．しかし，実際の計算で使うには，適用するための条件と解空間の基底の計算という２段階のとてつもない計算量の多さを考慮するとかなり困難である．そこで三角形分割に注目し，これらの計算を必要とせず，容易に計算できる条件を示した．
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西中 祐介 (Yusuke Nishinaka) 名古屋大学大学院多元数理科学研究科

頂点代数とCostello-Gwilliamの因子化代数

Costello-Gwilliamの因子化代数は(摂動的)場の量子論における観測可能量の空間がもつ代数構造を記述する代数系である. 一方でBorcherds によって導入された頂点代数は二次元共形場理論の代数的定式化として知られている. Costello-Gwilliamは複素平面上の因子化代数から頂点代数を構成する一般論を与えたが, そこで因子化代数に仮定されている離散条件が取り除けることを説明する. また可換な頂点代数からlocally constantな因子化代数を構成できることを説明し, この構成と微分代数のジェット構成の間の関係を議論する.
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小脇 修和 (Nobukazu Kowaki) 大阪大学大学院情報科学研究科情報基礎数学専攻

幾何的情報からの組合せ論的変異によるグ ラスマン多様体のトーリック退化の構成

グラスマン多様体のトーリック退化は多くの人に研究されており、現在は異 なる退化の間の関係性にも注目が集まっている。組合せ論的変異同値はその中でもよく研 究されているものの一つである。組合せ論的変異同値をトロピカル幾何の情報から判定す る十分条件を紹介する。
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橋本 七海 (Nanami Hashimoto) 慶應義塾大学大学院 理工学研究科 基礎理工学専攻

Equivalence of categories of E-theory for C*-algebras over topological spaces by reflection functors

(可分)\(\mathrm{C}^\ast\)-環に対するE-理論は, Alain ConnesとNigel Higsonによって導入され, \(\mathrm{C}^\ast\)-環の分類理論でよく扱われている. 有限\(\mathrm{T}_0\)-空間\(X\)上の\(\mathrm{C}^\ast\)-環(イデアル束に\(X\)からの良い作用をもつ\(\mathrm{C}^\ast\)-環)を対象とし, 射をE-群の元とする圏\(\mathbf{E}(X)\)を定義することができる. 本講演では, ある条件をみたす2つの有限\(\mathrm{T}_0\)-空間\(X, Y\)に対し, 対応するE-理論の圏\(\mathbf{E}(X), \mathbf{E}(Y)\)の間に鏡映関手を導入し, それが圏同値を与えることを説明する.
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伏見 宗紘 (Tokihiro Fushimi) 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻数理解析系

正標数代数曲線の基本群の特殊化射の非同型性

双曲的代数曲線はその基本群からどの程度思い出せるかというテーマについて，様々な観点から研究されてきた．有限体の代数閉包上において，モジュライ空間の閉点とその一般化の関係にある2点に対して，対応する2曲線の基本群が同型でないということが玉川安騎男氏によって示された．今回の講演では，正標数代数曲線の基本群の構造の多様性を示す現象として，基本群が同型にならないモジュライ空間上の鎖の存在を示す．
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星野 真生 (Mao Hoshino) 東京大学大学院数理科学研究科数理科学専攻

Towards a classification of quantum flag manifolds

量子群は物理学に背景をもちつつも、現在では純粋に数学的な対象として多くの研究者の関心を集めている。また量子群そのものだけでなくその作用も主要な研究対象の一つであり、Letzterに端を発する量子対称空間など今なお盛んに研究が行われている。この講演では、旗多様体(もしくは半単純軌道)の量子化について紹介し、SU(2)やSU(3)の場合にその分類結果について紹介する。また可能であれば、その分類結果とPoisson幾何、表現論との関わりについても述べる。
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松川 寿人 (Hisato Matsukawa ) 北海道大学大学院理学院数学専攻

Matsuiスペクトラムとthick部分圏

Matsui は近年三角圏に対してそのスペクラムを定義した。本講演では Matsui スペクトラムを用いた三角圏の thick 部分圏の分類に関する結果を紹介する。また、スキームの導来圏の Matsui スペクトラムに対するいくつかの結果を紹介する。
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松下 光虹 (Koji Matsushita) 大阪大学大学院情報科学研究科情報基礎数学専攻

安定集合凸多面体の余次数について

安定集合凸多面体はグラフから生起する凸多面体であり、そこから得られるトーリック環、及びEhrhart環の可換環論的性質と元のグラフの組合せ論的性質との関係が近年よく調べられている。一方で、一般の整凸多面体の余次数はEhrhart環の\(a\)-不変量やトーリック環のCastelnuovo–Mumford regularityといった代数的不変量と密接な関係にあることが知られている。本講演では、安定集合凸多面体の余次数とグラフ不変量であるクリーク数、彩色数の関係性について得られた結果を紹介する。本講演は土谷昭善氏との共同研究の内容に基づく。
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水野 雄貴 (Yuki Mizuno) 早稲田大学基幹理工学部応用数理学科

Bondal-Orlov’s reconstruction theorem in noncommutative projective geometry

We show that Bondal-Orlov’s reconstruction theorem holds in noncommutative projective geometry. We also prove that fully faithful exact functors between derived categories of noncommutative projective schemes are of Fourier-Mukai type.
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宮下 空 (Sora Miyashita) 大阪大学大学院情報科学研究科情報基礎数学専攻

The canonical trace of Stanley--Reisner rings that are Gorenstein on the punctured spectrum

The content of this talk is based on joint work with Matteo Varbaro from the University of Genoa. It is known that a Cohen--Macaulay graded local ring is Gorenstein on the punctured spectrum if and only if the trace ideal of its canonical module contains a power of its irrelevant maximal ideal. In this paper, we show that for a Cohen--Macaulay Stanley--Reisner ring, it is Gorenstein on the punctured spectrum if and only if it is nearly Gorenstein or its canonical trace is the square of its irrelevant maximal ideal. Finally, we provide a classification of Stanley--Reisner rings that are Gorenstein on the punctured spectrum.
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山田 雄斗 (Yuto Yamada) 立教大学大学院理学研究科数学専攻

Nuclear solid modules over Stone δ-rings

近年P.ScholzeやD.Clausenらにより導入された(light) condensed mathematicsは様々な概念を統合する可能性を秘めている。δ-ringとの関連についての自分の結果を発表する。また、condensed abelian groupに対するsolidificationという操作により、非アルキメデス的解析はよく振る舞う。それを用いた展望としての導来圏を紹介する。
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余 錦波 (Yu Jinbo) 名古屋大学　多元数理科学研究科

Schur multiple Eisenstein series

Eisenstein series give the classical examples of modular forms, with their constant Fourier coefficients given by Riemann zeta values. In 2006, Gangl, Kaneko, and Zagier introduced double Eisenstein series to relate double zeta values to modular forms, and Bachmann (2012) later generalized this to multiple Eisenstein series. In this talk, I will discuss a further generalization, namely the “Schur multiple Eisenstein series.” These series have Fourier expansions whose constant terms are Schur multiple zeta values, and they satisfy certain relations for Schur multiple zeta values, such as the Jacobi-Trudi formula. We will also consider some special cases relating to modularity. Following the Fourier expansion, we study the Q-vector space generated by Young tableaux and define a harmonic product and a deconcatenation coproduct, thereby giving this space the structure of a Hopf algebra.
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吉田 智輝 (Tomoki Yoshida) 早稲田大学大学院基幹理工学研究科数学応用数理専攻

A simple derived categorical generalization of Ulrich bundles

In this talk, we define Ulrich objects as a derived categorical generalization of Ulrich bundles, using the cohomological characterization of Ulrich bundles. We then provide a characterization of these Ulrich objects. As an application of this characterization, we demonstrate that considering the generalization to Ulrich objects offers a new approach to the existence problem for Ulrich bundles.
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