第10回数学総合若手研究集会
～多分野間の交流による発展・発見を目指して～
The 10th Mathematics Conference for Young Researchers

解析

相原 祐太(Yuta AIHARA) 北海道大学理学研究院

Differentiation in Locally Convex Spaces and its Application to Asymptotic Analysis of the Partition Function of an Abstract Bose Field Model

ボソンフォック空間のQ空間表現によって、無限次元解析の視点を導入すると、自然に局所凸空間上の関数の可微分性が問題になる。本講演においては、局所凸空間における微分の理論がある抽象的ボース場のモデルの分配関数の漸近解析に応用され、それの任意のオーダーの近似項が決定される。

李 正勲(Junghun LEE) 名古屋大学大学院多元数理科学研究科

On the Artin-Mazur Zeta Functions of Rational Maps over $\mathbb{C}_p$

Artin-Mazurゼータ函数は著名な数学者であるMichael Artin とBarry Mazurが提唱した力学系に関わる一つのゼータ函数である。提唱した以来、様々な力学系において、Artin-Mazurゼータ函数が研究されてきた。この講演では、特に、A. Hikkanen氏によって証明された「リーマン球面上の次数2以上の有理函数のArtin-Mazurゼータ函数は有理的である」と言う定理に注目し、他の体に対する拡張を考えることにする。

池田 創一(Soichi IKEDA) 名古屋大学大学院多元数理科学研究科

解析数論にあらわれる関数方程式

解析数論では、リーマンゼータ関数をはじめ、何らかの関数等式をもつ関数が重要な役割を果たす。言い換えると何らかの関数方程式の解となるような関数が重要な役割を果たす。
本講演では、微分などの極限操作を含まない関数方程式と解析数論にあらわれる関数の関わりについて述べる。またこれについて講演者が最近得た結果についても話す予定である。

石田 敦英(Atsuhide ISHIDA) 追手門学院大学経済学部経済学科

Scattering problems on the Schrödinger equation for a repulsive Hamiltonian

量子力学における数学的（2体）散乱理論とはどのようなものか。ということをテーマに、基礎方程式であるSchrödinger方程式から始め、自由粒子の場合やStark効果の場合と比較しながらrepulsive Hamiltonianと呼ばれる系について、短距離型と長距離型というポテンシャルのクラスの閾値や、修正波動作用素による長距離散乱について解説する。

大城 和秀(Kazuhide OSHIRO) 名古屋大学大学院多元数理科学研究科

群上の連続ウェーブレット解析

私の研究テーマは局所コンパクト群上の連続ウェーブレット解析です。表現論の観点において、連続ウェーブレット解析は群の２乗可積分表現と呼ばれる既約なユニタリ表現の研究に帰着されます。この研究集会において、私は相似変換群のベクトル値関数上に実現される非自明なユニタリ表現の既約分解、 既約なユニタリ部分表現が２乗可積分表現となる条件や具体的に連続ウェーブレットの構成等を話す予定です。

可香谷 隆(Takashi KAGAYA) 北海道大学大学院理学院数学専攻

外力項付き曲線短縮方程式に対するCapillary自由境界値問題

曲線短縮方程式にCapillary境界条件を課した問題は、物理的状態が異なる3つの物質が混じり合わずに共存し、それらの3つの界面が交わった部分で表面張力が働いている状況での相境界の運動を記述する。 今回の発表で考える問題は、上の自由境界値問題に外力項を付け加えて一般化してものである。 特に局所解の存在定理を古典解の範囲で考える。 証明では適当な変数変換を施して準線形方程式に対する半群の一般論を適用する。

川本 昌紀(Masaki KAWAMOTO) 神戸大学大学院理学研究科数学専攻

電磁場中の粒子に対する散乱理論

私は量子力学的系に対する散乱理論の中で、特に、電磁場の影響下での散乱理論を主に研究している。
本講演では、量子力学的系における散乱理論についての簡単な説明と、近年、私の指導教員である足立匡義教授(神戸大学)との共同研究で得られた結果について発表したい。

坂田 繁洋(Shigehiro SAKATA) 首都大学東京理工学研究科数理情報科学専攻

距離核ポテンシャルの最大点と体の中心

自然科学の現象を理解するための一つの手段として、数学者は偏微分方程式論を発展させてきた。また、ある型の偏微分方程式を解くために、ポテンシャル論を発展させてきた。そのような背景から偏微分方程式の解やポテンシャルは自然科学的意味づけのされた関数と言える。したがって、自然科学の現象の理解を深めるために、そのような関数のグラフの形状を知りたいと思うことは自然な欲求である。 本講演では、距離核ポテンシャルと呼ばれる関数に焦点を当て、その関数のグラフの形状ついて考察した結果を紹介する。さらに、距離核ポテンシャルのグラフの形状から体(body、有界な開集合の閉包)と呼ばれる図形の中心を定義できることにも触れ、幾何学的な問題意識からも距離核ポテンシャルを眺める。

佐々木 多希子(Takiko SASAKI) 東京大学大学院数理科学研究科

Linearly implicit finite-difference scheme for a nonlinear wave equation with application to approximation of the blow-up time

非線形偏微分方程式の解の爆発時刻を解析的に求めることは一般的に難しく、したがって数値計算によって爆発時刻を近似的に求める方法が研究されている。近年Choにより双曲型方程式に対し爆発時刻を数値的に求める手法が提案されたが、その提案手法では差分解の厳密解への収束証明が未解決だった。我々はこの問題に対し、差分解の厳密解の収束証明を示すことができ、数値爆発時刻の収束証明のできる手法を得ることに成功した。本講演ではその結果について概説する。

佐野 めぐみ(Megumi SANO) 大阪市立大学理学研究科数物系専攻

A mean value property for polycaloric functions

caloricな関数が平均値の性質を持つことはよく知られている。2006年、F.Da LioとL.Rodinoはcaloricな関数の平均値の性質の一般化を少し変わった作用素を用いることで証明した。本講演ではこの一般化を空間一次元にすることで、より簡単で素直な別証明を与える。 さらにpolycaloricという関数の概念を導入し、系としてpolycaloricな関数の平均値の定理を述べる。 またこの論文を書くきっかけとなった2011年のG.Lysikの結果である多重調和関数の平均値の定理についても言及する。

高橋 剛(Go TAKAHASHI) 早稲田大学基幹理工学研究科数学応用数理専攻

4 次元Navier-Stokes 方程式の解の爆発と正則性

1982年にCaffarelli-Korn-Nirenbergらにより導入されたsuitable weak solutionに対する正則性の理論は、ミレニアム問題の一つであるNavier-Stokes方程式の解の正則性を解明する有力な手掛かりとして現在盛んに研究が行われている。本講演では主に空間３次元の場合でのみ用いられてきたこの手法を空間４次元の場合に応用することで、解のblow-up argumentに関する新たな正則性定理を与える。

高橋 甫宗(Toshinori TAKAHASHI) 近畿大学大学院総合理工学研究科理学専攻

合流型超幾何微分方程式のVoros係数

ラージパラメータが導入された合流型超幾何微分方程式のVoros係数についての考察をする。 Voros係数とはturning pointを始点とし規格化した積分と、特異点を始点とし規格化した積分の違いを表すものである。超幾何微分方程式のVoros係数についてはAoki,Tandaによってその具体系およびBorel和が求められており、今回はそれらの場合との比較も行う。本研究はAoki,Tandaとの共同研究である。

田端 亮(Ryo TABATA) 広島大学大学院理学研究科数学専攻

半正値エルミート行列上の Generalized Matrix Functions の不等式

行列式やパーマネントを一般化した関数 Generalized Matrix Function は半正値エルミート行列上で実数値をとり、その大小関係について Schur の不等式、Lieb の予想がある。半正値エルミート行列を「ベクトルの配置」として解釈することによって、これまでの結果を整理し、その一般化へ向けての考察や、行列をランダムを生成して行った数値実験の結果等を紹介する。

冨澤 佑季乃(Yukino TOMIZAWA) 中央大学大学院理工学研究科数学専攻

Bregman 距離による非 Lipschitz な非線形写像

Lipschitz 性を持たない非線形写像の不動点理論の研究は、これまでは距離に関してある一種の場合の結果がほとんどであった。一方、距離の一般化である Bregman 距離は不動点理論に導入され、既存の理論体系の更なる一般化が進んでいる。本講演では Bregman 距離による非拡大性を持ち、特に Lipschitz 性を持たない非線形写像の不動点集合の性質とそこへの近似法について最近得られた研究結果を報告する。

内免 大輔(Daisuke NAIMEN) 大阪市立大学大学院理学研究科数物系専攻

Sobolevの臨界指数を持つKirchhoff型方程式の正値解の存在について

我々はKirchhoff型方程式のDirichlet境界値問題の正値解の存在について考える。本講演では特に，非線形楕円型方程式の変分解析では最も興味深い問題のひとつである，非線形項がSobolevの臨界指数を持つ問題を取り挙げる．問題の焦点となるのは，問題に対応するPS列のcompact性である。

楢崎 政宏(Masahiro NARAZAKI) 九州大学大学院 数理学府数理学専攻

Laplace積分の評価と漸近展開

Laplace積分は、Laplace変換のある種の一般化とも解釈できる。Phase関数が非退化である場合や実解析的な場合については、$t \to \infty$としたときの減少度、漸近展開が既に得られているが、本講演ではその関数クラスの拡張について述べる。解析をする上では、Newton多面体の幾何学的性質が特に重要となる。

野口 朗(Akira NOGUCHI) 北海道大学大学院理学院数学専攻

Group actions on a non-type I $C^*$-algebra

UHF環は、1960年にGlimmが研究し始めた重要な$C^*-$環であり、全行列環の列の帰納的極限という基本的な構造でありながら、その像がII型やIII型のフォン・ノイマン環を生成するような表現を持っています。
Glimmの定理は、$C^*-$環にUHF環がおよそ埋め込まれていることを主張しています。この話を拡張すると、$C^*-$環の自己同型に、UHF環の積型の自己同型がおよそ埋め込まれていることがわかります。

日高 建(Takeru HIDAKA) 九州大学大学院数理学研究院

準相対論的なPauli-Fierz模型の基底状態の存在について

準相対論的Pauli-Fierz模型は準相対論的なシュレーディンガー作用素と量子輻射場が最小結合した模型である。全ハミルトニアン$H$は以下のようにあるヒルベルト空間上の下に有界な自己共役作用素によって定義される。
$H=\sqrt{(p-A)^2+M^2}+V+d\Gamma(\omega),\quad M\geq 0$.
粒子の静止質量が$M=0$となる場合も含めて$H$の本質的スペクトルを求める。分散関係$\omega$の下限$m$は正と仮定する。

布田 徹(Toru FUDA) 北海道大学大学院理学院数学専攻

Convergence Conditions of Mixed States and their von Neumann Entropy in Continuous Quantum Measurements

射影作用素の族による量子測定を連続的に適切に行うことで、ユニタリチャンネルをトレースノルムの意味で任意の精度で近似することができる。特に応用として量子ゼノン効果について触れる。無限次元の場合はフォン・ノイマンエントロピーは連続であるとは限らないが、ある条件の下で、上述のように近づけられる状態間のエントロピーの差を任意に小さくすることができる。

二口 伸一郎(Shinichiro FUTAKUCHI) 北海道大学大学院理学院数学専攻

非自己共役なハミルトニアンに対する力学の構成と、その応用について

ヒルベルト空間上の，非有界かつ非自己共役な作用素に対して、ある条件の下で、シュレーディンガー方程式とハイゼンベルク方程式の解が構成可能であることを紹介する。同じ条件の下で、相互作用描像における時間発展が存在して、有用な級数として表すことができる。これは、物理学における“時間順序積”の、数学的な実現のひとつである。応用として、量子電磁力学のローレンツゲージにおける力学の構成や、自己共役性の判定に関する結果を紹介する。

船川 大樹(Daiju FUNAKAWA) 北海道大学大学院理学院数学専攻

特異摂動の入った${\rm Derezi\grave{n} ski}$-${\rm G\grave{e} rard}$モデルの解析

場の量子論を記述する様々なモデルをある程度一般化したモデルとして ${\rm Derezi\grave{n} ski}$-${\rm G\grave{e} rard}$モデルがある。このモデルは数学としては、あるヒルベルト空間上の下に有界な自己共役作用素として実現される。本講演ではボソンの場の4乗相互作用を念頭に置き、特異摂動の入った${\rm Derezi\grave{n} ski}$-${\rm G\grave{e} rard}$モデルを考える。このモデルの定義と共にこのモデルが持つ性質として、自己共役性や基底状態の存在性などを紹介していく。

松岡 謙晶(Kaneaki MATSUOKA) 名古屋大学多元数理科学研究科

Riemannゼータ関数と多重ゼータ関数

Riemannゼータ関数は素数の情報を含む重要な解析的な関数であり、Riemannの時代から色々な研究がなされてきました。この講演では、はじめにRiemannゼータ関数の定義や解析接続の方法など基本的なことを述べた後、零点分布やオーダー評価など解析的な性質をいくつか紹介する予定です。最後に近年活発に研究が行われている多重ゼータ関数の解析的な性質を紹介する予定です。

若杉 勇太(Yuta WAKASUGI) 大阪大学大学院・理学研究科・数学専攻

On diffusion phenomena for the linear wave equation with space-dependent damping

空間変数に依存する摩擦項を持つ線形消散型波動方程式を考える。この方程式は、摩擦の大きさが場所によって変化するような媒質の中を伝わる波動現象を記述する一つのモデルである。本発表では、解の拡散現象、すなわち、解が時間無限大において対応する熱方程式の解に漸近することを示す。証明には、Todorova-Yordanovによる重み付きエネルギー評価を、高階の導関数にまで拡張したものを用いる。

和田 和幸(Kazuyuki WADA) 北海道大学大学院理学院数学専攻

複素スカラー場が自己相互作用する系における基底状態

スピンと質量が0の、無数の荷電粒子とその反粒子らが場の２次と４次の和の摂動によって自己相互作用をしている系を考える。この系のハミルトニアンは空間切断と呼ばれる関数を導入することにより、ボソンフォック空間上の作用素として実現され、下に有界な自己共役作用素となる。作用素のスペクトルの下限が固有値になっているかを問うのが基底状態の存在性の問題である。今回は適切な条件下で、その問が真である事を紹介したい。

渡辺 朋成(Tomonari WATANABE) 広島大学大学院理学研究科数学専攻

時空間に非一様な消散項を持つ非線形波動方程式の大域解の存在と時間減衰評価

次の非線形偏微分方程式について考察する。
$(\partial_t^2 - \triangle + B(t,x)\partial_t) u (t,x) = F(\partial u, \partial \nabla u).$
この方程式は非線形消散型波動方程式と呼ばれる, 波動現象に消散（もしくは摩擦）の効果を考慮した方程式である。消散項の効果を表す$B(t,x)$は時空間に依存し、さらに有界領域上で消えていると仮定する。今回はDirichlet条件の下での外部問題を考え、時間大域解の存在と減衰評価について発表する。

幾何

岡崎 建太(Kenta OKAZAKI) 京都大学数理解析研究所

レンズ空間の $E_6$ 状態和不変量について

状態和不変量とは単体分割表示にもとづいて定義される3次元多様体の位相不変量である。TuraevとViroは状態和不変量を量子群の表現の$6j$-記号を用いて定義した。Ocneanuはこの構成を、部分因子環の$6j$-記号を用いたものに一般化した。
本講演では$E_6$型部分因子環から定まる状態和不変量（$E_6$状態和不変量）
のレンズ空間の値をすべて計算する。計算には発表者が以前構成した$E_6$線型スケイン理論を用いる。$E_6$線型スケインとはある平面グラフから定義されるベクトル空間であり、これを用いて$E_6$状態和不変量を初等的に再構成することができる。

緒方 勇太(Yuta OGATA) 神戸大学大学院理学研究科数学専攻

DPW method for constant mean curvature surfaces in 3-dimensional Lorentzian spaceforms

平均曲率一定曲面の構成方法の一つとして、DPWの方法がある。DPWの方法は、ある種の正則関数のデータから平均曲率一定曲面が構成できることを保証する。今回の講演では、このDPWの方法を３次元Lorentz空間内や３次元de Sitter空間内、３次元Anti-de Sitter空間内の空間的な曲面に対して応用し、平均曲率一定曲面を構成する。講演の最後では、具体的に構成した曲面の例も紹介する。

奥田 喬之(Takayuki OKUDA) 九州大学数理学府

Dehn-twist presentations of periodic mapping classes and splitting of singular fibers

Riemann面の（極小な）退化の位相同値類と、向き付けられた実閉曲面の写像類群における負型擬周期的写像類の共役類とは、一対一に対応することが知られている。
本講演の目標は、「与えられた周期的写像類をDehnツイストの合成として具体的に表示する」という問題に対して、上の事実に基づき「退化の特異ファイバーを複数のLefschetzファイバーに分裂させる」操作を対応づけることによって、より有効な手法を導入することである。

加葉田 雄太朗(Yutaro KABATA) 北海道大学大学院理学院数学専攻

平面から平面への写像の特異点の認識問題とその応用

本講演では最初に、与えられた平面から平面への可微分写像芽（corank=1）がどの標準形にA-同値（右左同値）になるかを決定する佐治の判定法とその発表者による拡張を紹介する。次に判定法の応用として、 滑らかな曲面の平面への中心射影に現れる特異点の分類（ArnoldとPlatonovaによる定理の再証明、及び講演者によるその一般化）について説明する。

金城 就実(Shumi KINJO) 信州大学大学院 理工学系研究科 数理・自然情報科学専攻

A型・D型Dynkin図形に付随した$S^3$の${\mathbb R}^4$へのはめ込み

3次元球面の4次元空間へのはめ込みの無限列をA型とD型のDynkin図形を用いて定義し、それらの正則ホモトピー類と同境類を計算する。具体的には、与えられたはめ込みの拡張であるような良い性質を持った写像（特異Seifert膜）をKirby計算を用いて構成し、そこに現れる特異点をの数を数えることで結果を得る。また、はめ込みの同境群と球面の3次安定ホモトピー群の関係について述べたい。

瀬戸 樹(Tatsuki SETO) 名古屋大学大学院多元数理科学研究科

Toeplitz作用素を用いたRoe-Higson指数定理の偶数次元への展開

Connesの非可換幾何学には巡回コサイクルとK群の元とのペアリングを考える枠組みがある。この枠組みを利用し、Roeは閉超曲面で分割された完備Riemann多様体に対してペアリングの結果が超曲面上のDirac作用素のFredholm指数で得られる指数定理を証明した。この指数定理は超曲面が奇数次元の場合には常に自明になる。本講演ではToeplitz作用素を考えると非自明な指数定理が得られることを紹介する。

高岡 邦行(Kuniyuki TAKAOKA) 早稲田大学大学院教育学研究科

LR数が３の平面閉曲線の特徴付けについて

有限個の横断的な２重点のみを持つ向き付けられた平面閉曲線に対して、その曲線上を向きに沿って辿ったときに現れる各２重点に、その交差の方向に従って、文字Ｌ(Left)と文字Ｒ(Right)を対応させることで、２重点の個数と各々等しいＬとＲの文字列が得られる。その文字列中の部分列ＬＲの個数を平面閉曲線のＬＲ数と呼ぶことにする。今回ＬＲ数が３以下である平面閉曲線を決定出来たので、これを報告する。

只野 誉(Homare TADANO) 大阪大学大学院　理学研究科　数学専攻

Gap theorems for compact gradient Sasaki-Ricci solitons

"In this talk we give some necessary and sufficient conditions for compact gradient Sasaki-Ricci solitons to be Sasaki-Einstein. Our result [3] can be considered as a Sasaki geometry version of recent works by H. Li [2] and M. Fern\'{a}ndez-L\'{o}pez-E. Garc\'{i}a-R\'{i}o [1].
References
[1] M. Fern\'{a}ndez-L\'{o}pez and E. Garc\'{i}a-R\'{i}o, Some gap theorems for gradient Ricci solitons, Internat. J. Math., 23 (2012), no. 7, 1250072, 9pages.
[2] H. Li, Gap theorems for K\""{a}hler-Ricci solitons, Arch. Math. (Basel), 91 (2008), no. 2, 187-192.
[3] H. Tadano, Gap theorems for compact gradient Sasaki-Ricci solitons, preprint, 2013."

塚本 靖之(Yasuyuki TSUKAMOTO) 京都大学大学院人間・環境学研究科共生人間学専攻

平面配置の対称性に関するいくつかの例

実3次元ユークリッド空間内の平面配置に対し、それに含まれる平面の置換で、全体に対する線型変換でも実現されるようなもの全体からなる群を、その配置の対称性と考える。ある組合せ型に対し、それを満たす平面配置は、どんなにうまく配置しても、その組合せ型がもつ対称性を実現できないということが知られている。今回の発表では、そのような組合せ論的な対称性と、その実現可能な対称性との違いについて説明したい。

土田 旭(Asahi TSUCHIDA) 北海道大学大学院理学院数学専攻

ポート制御Hamilton系における特異制御について

ポート制御Hamilton系は、ネットワーク理論に出生を持ち、複雑な物理系のモデリングなどに利用されている制御系である。この制御系は古典力学におけるHamilton系の一般化である。それはPoisson多様体上に定義される、Hamiltonベクトル場をドリフトにもつアファイン制御系である。
本講演では、幾何学的制御理論の観点から、ポート制御Hamilton系の特異制御について、物理的な例を交えながら考察する。

十鳥 健太(Kenta TOTTORI) 東北大学大学院理学研究科数学専攻

Calabi's gradient metric on the space of K\"{a}hler metrics

定スカラー曲率ケーラー計量が存在するための条件を、ケーラー計量の空間という無限次元の空間の幾何で記述しようという試みの下、ケーラー計量の空間上に様々なリーマン計量が定義されている。本講演では特にCalabi's gradient計量と呼ばれる計量に対応した測地方程式のCauchy問題の解の存在性、そしてその存在性からケーラー計量の空間上に距離が定まることを説明する。

内藤 貴仁(Takahito NAITO) 信州大学理学部数理・自然情報科学科

分類空間のループ余積とVan den Bergh同型写像

Chataur-Menichiにより、コンパクト連結リー群の分類空間上のストリングトポロジーの理論が創始された。特にホモロジー上に、ループ余積と呼ばれる余代数構造が構成された。本講演では、分類空間上のループ余積とVan den Berghにより構成されたCalabi-Yau代数のHochschildホモロジーHochschildコホモロジーを繋ぐポアンカレ双対型の同型写像との関係について述べたい。

野口 和範(Kazunori NOGUCHI) 信州大学

Ramified coverings of small categories

この講演では小圏の分岐被覆を定義し、その性質について述べる。被覆は幾何学的な対象に対して定義されるが、小圏に対してはすでに不分岐な被覆は定義されており、様々な研究も進んでいる。この小圏の分岐被覆がRiemann-Hurwitzの公式と呼ばれるリーマン面の分岐被覆とオイラー標数との関連を示す公式の類似が成立することを紹介し、有限圏のゼータと分岐被覆との関連を示す。また分岐被覆の分類空間が位相空間として分岐被覆になることを示す。

橋爪 惠(Megumi HASHIZUME) 奈良女子大学大学院人間文化研究科数学専攻

同じ射影図を持つリンクダイアグラムの集合の領域交差交換による同値類について

有限個の1次元球面を3次元球面に埋め込んだものをリンクという。通常リンクは2次元球面上に描いて表される（：リンクダイアグラム）が、2010年、清水氏らによってこのような図式に対して領域交差交換と呼ばれる、局所変形が定義された。ここで、同じ射影を持つリンクダイアグラムの集合$\{D_i\}$に対して、$D_i$と$D_j$が領域交差交換で移りあうとき同値であるという同値関係を入れる。今回の講演では、この同値関係による同値類について得られた結果を報告する。

畑中 美帆(Miho HATANAKA) 大阪市立大学理学研究科数物系専攻

位相的トーリック多様体の貼り合わせによる構成法

位相的トーリック多様体はトーリック多様体を一般化したものである。トーリック多様体は扇という組み合わせ論の対象から構成できることがよく知られている。これと同様に位相的トーリック多様体も位相的扇という組み合わせ論の対象から構成できることが知られている。本講演では位相的トーリック多様体の新しい構成法である貼り合わせによる構成法を紹介する。

原口 忠之(Tadayuki HARAGUCHI) 環太平洋大学次世代教育学部教育経営学科

微分空間の性質とその応用について

本講演は、可微分多様体を一般化した空間として定義された微分空間の基本的な性質を紹介する。特に、位相空間と深い関係があり、これらの間の関係について触れる。また、任意の微分空間には、ド・ラム・コホモロジーを定義できることが知られており、ホモトピー不変であることも証明されている。これらの応用として、マイヤー・ビエトリス完全系列の存在性を紹介すると同時に、完全系列が存在するような微分空間の例をあげる。

本多 俊一(Shunichi HONDA) 室蘭工業大学大学院工学研究科数理システム工学専攻

枠付き曲線について

単位接束上のルジャンドル曲線と一般次元の正則曲線の拡張・一般化として枠付き曲線を考える。枠付き曲線はある種の特異点を許容する曲線であり、不変量として枠付き曲線の曲率を与える。この曲率によって枠付き曲線は回転と平行移動の自由度を除いて一意的に定まることが分かる。枠付き曲線の曲率を用いて曲線の性質を調べる。特に３次元の場合について、枠付き空間曲線のある平面への射影とルジャンドル曲線の関係を考える。

嶺山 良介(Ryosuke MINEYAMA) 大阪大学大学院理学研究科数学専攻

Coxeter群の無限遠境界と極限集合

Coxeter群は古典的にベクトル空間上にある種の鏡映変換として作用することが知られている。 Hohlweg, Labbe, Ripollはこの作用を正規化することによってCoxeter群に付随するルート系の集積点集合を調べている。このアイデアは視点を変えると（ある仮定の下で）双曲空間上の離散的な等長変換を誘導することがわかる。本講演ではその極限集合と群の無限遠境界とのつながりについて考察する。

八木 潤(Jun YAGI) 高知大学理学部

5-membered ringed chainsのなす配置空間のトポロジー

$n$員環の環状炭化水素分子は、その立体構造により異なる化学的な性質をもつことが知られている。K. KomatsuとS. Gotoは立体構造の数理モデルとして$n$-membered ringed chains(剛性をもった環状の空間グラフ)を考え、$n=5,6,7$のとき標準的なbond angleをもつ$n$-membered ringed chainsのなす配置空間のトポロジーを調べた。本講演では、K. KomatsuとS. Gotoによって与えられた数理モデルを基に、任意のbond angleに対して5-membered ringed chainsのなす配置空間の構造を決定する。

安本 真士(Masashi YASUMOTO) 神戸大学大学院理学研究科

ミンコフスキー空間内の特異点を持つ離散極大曲面について

3次元ユークリッド空間内では極小曲面の離散化がBobenko氏とPinkall氏によって提唱されました。近年、正定値とは限らない空間内のおいてある種の特異点を許容する曲面の研究が活発に行われています。今回の発表では、極大曲面と呼ばれる、3次元ミンコフスキー空間内の平均曲率が恒等的に0になる曲面の離散化と、そこに現れる特異点についてお話させていただきます。

山口 崇幸(Takayuki YAMAGUCHI) 北海道大学大学院理学院数学専攻

Truncated Polyak algebra of Gauss words and classification by numerical finite type invariant

We show truncated Polyak algebras of some varieties of Gauss word,which are obtained by our computer program. Applying universal finite type invariant of Gauss word of rank $7$ obtained from the truncated Polyak algebra, we have classified completely Gauss words of rank $5$.

数理

遠藤(渡邊) 隆子(Takako ENDO(WATANABE)) お茶の水女子大学大学院　人間文化創成科学研究科　理学専攻　物理科学領域

一点位相付量子ウォークの極限定理

量子ウォークの漸近挙動は，局在化に対応する時間平均極限測度と逆鐘型の確率分布に対応する弱収束極限定理の二種類の極限定理によって記述される [Konno et al. ($2013$)]。他方、量子ウォークからはいくつかの測度を構成することが出来る。その一つに「定常測度」がある。本研究では、Wojcik et al. ($2012$) により導入され研究された量子ウォークに対して、母関数を用いてモデルの固有値方程式を解き定常測度を導出した。このことは、Wojcik et al. ($2012$)と矛盾しない結果であり解析はより平易である。さらに、組み合わせ論的手法により時間平均極限測度を導出し二つの測度の関係を明らかにした。[Konno et al. ($2013$)] によれば、いくつかの量子ウォークに対しては時間平均極限測度と定常測度は深く関係している。

小川 駿(Shun OGAWA) 京都大学大学院情報学研究科

遷移線形化の手法を用いた非線形応答理論

遷移線形化とは、C. LancellottiとJ. J. Dorningによって一次元プラズマ系の非線形ランダウ減衰の解析に用いられた手法である。 通常の線形化は元の非線形方程式の解を「安定定常解+摂動項」に分け、非線形項を落とすが、遷移線形化では「長時間残る漸近場+短時間で減衰する遷移場」に分け、漸近場の方には非線形性を残しつつ遷移場の方だけを線形近似する。本研究では長距離相互作用系のダイナミクスの研究でよく用いられるハミルトニアン平均場モデルに対し、この系の一体分布関数の時間発展を記述するVlasov方程式に遷移線形化の手法を適用し、分布関数に摂動が加わった場合と外場をかけた場合の秩序変数の漸近的な振る舞いを求めた。さらに、この手法により二次相転移点付近における外場に対する非線形応答を求めた。本発表は山口義幸氏(京大情報)との共同研究に基づく。

金川 哲也(Tetsuya KANAGAWA) 東京大学工学系研究科機械工学専攻

非線形波動理論に基づく気泡流中の音響波の系統的理解

"非線形音源である気泡から周囲液体へと放射される音は, 波の分散性や散逸性などの諸性質を招き、 波の非線形性とバランスする. このような気泡流中の非線形音響波の数理が対象である。弱非線形すなわち有限小振幅の制約を課して、多重尺度法と呼ばれる特異摂動法を起点に、非線形・分散・散逸などの波の多様な性質の多様な競合を、統一的かつ系統的に取り扱う手法を提案する。 これを気泡流の平均化方程式系に適用して, KdV方程式や非線形Schrodinger方程式など, 分散性波動理論で著名な非線形発展方程式群の導出を実証する。
[Kanagawa, Yano, et al.,$\ J.~Fluid\ Sci.~Technol.,\ {\bf 5}$ (2010) 351; Yano, Kanagawa, et al., Chap. 4 In $Bubble\ Dynamics\ and\ Shock\ Waves$ (Springer, 2013) 107].

関坂 歩幹(Ayuki SEKISAKA) 東北大学大学院理学研究科数学専攻

反応拡散方程式の進行波解の安定性に対する力学系的アプローチ

１次元空間上の放物型偏微分方程式（反応拡散方程式）の進行波解の存在と安定性について、力学系的アプローチによる研究を行う。 進行波解の存在は、進行波方程式と呼ばれる1階常微分方程式におけるホモクリニック解あるいはヘテロクリニック解の存在問題に帰着される。また、進行波解の漸近安定性は、進行波解に沿った線型化固有値問題により判断できる。 本講演では、線形化固有値問題がGrassmann多様体上の力学系により決定されること、特に、固有値の集積が起こるときのGrassmann多様体上の力学系について紹介する。

寺田 知幸(Tomoyuki TERADA) 東北大学大学院理学研究科数学専攻

時間周期項を加えたFitzHugh-Nagumo方程式系の自己複製ダイナミクスについて

本発表では、時間周期項を加えたFitzHugh-Nagumo方程式系のパルスの生成$\cdot$消滅ダイナミクスについて報告する。このような非自励系では無限次元力学系の一般論の適用が困難であり、従ってパルスの安定性やダイナミクスの決定が問題である。それは非自励常微分方程式系の定常解の安定性は、時間を止めたヤコビ行列の固有値では決定できないことからも予想される。当日は数値計算の結果と伴に数理的な考察を行いたい。

永幡 裕(Yutaka NAGAHATA) 北海道大学生命科学院

タンパクの時系列から得られたMarkov 連鎖の解析に向けて：グラフの分割とクラスタリングで定義する複雑な化学反応における状態とその時間階層構造

本研究はたんぱく質の一分子実験から得られたたんぱく質内二点間距離の時系列から抽出したMarkov連鎖の解析を目的としている。特にまだ定式化されていない、たんぱく質を含む複雑な分子において「化学反応における状態」をどう定義すべきかの考察を、グラフ理論を用いて行う。
キーワード：化学反応、組み合わせ爆発、マルコフ連鎖の階層的クラスタリング、グラフでのスペクトル理論

縫田 光司(Koji NUIDA) 産業技術総合研究所セキュアシステム研究部門

非可換群を用いた暗号技術について

現代の代表的な暗号技術は、RSA暗号や楕円曲線暗号のように可換な群を用いて構成されているものが殆どである。一方、純粋に理論的な興味に加えて将来的な量子コンピュータによる攻撃の危険性に備える意味もあり、非可換な群を用いた暗号技術の構成に関する研究もそれなりに進められている。本発表では、非可換群に基づく暗号技術の既存研究の紹介および話者の最近の研究成果の紹介と、関連する数学的な問題の提案を行う。

山本 健(Ken YAMAMOTO) 中央大学理工学部物理学科

ジップの法則における規模と順位の反比例関係に対する一考察

単語の出現頻度分布や人口の分布などの様々な現象において、観測値やデータを大きい順に並べると、$r$番目の値が$r$のベキ乗に比例するというジップの法則が確認されている。特に、このベキ指数が$-1$に近い値をとることが多い。本講演ではジップの法則をモデル化するシンプルな確率過程を提案し、その解析を行なう。モデルに含まれる確率変数に、ある種の対称性を仮定するとベキ指数$-1$が自然に導出されることを述べる。

弓林 司(Tsukasa YUMIBAYASHI) 首都大学東京大学院理工学研究科物理学専攻

パラメータを持つ代数差分方程式と再帰方程式

（一階）差分方程式$F(x^t, x^{t+1})=0$は初期点$x^t$を定める事で写像$F:x^t \rightarrow x^{t+1}$と見做す事が出来る。特にある$n\in \mathbb{N}$に対し任意の初期点$x^t$が$n$周期点となる時その差分方程式は$n$周期再帰方程式と呼ばれる。本講演ではパラメータを持つ代数差分方程式が再帰方程式と成る条件について発表する。

代数

足立 崇英(Takahide ADACHI) 名古屋大学大学院多元数理科学研究科

Triangulations and $\tau$-tilting modules

近年導入された$\tau$傾(tilting)加群は古くから研究されている傾加群の一般化であり、クラスター代数とその圏化であるクラスター圏と深い関係があることが知られている。本講演では、中山多元環上の$\tau$傾加群がある多角形の三角形分割(triangulation)によって与えられることについて紹介する。

加瀬 遼一(Ryoichi KASE) 大阪大学情報科学研究科

道代数上の前射影傾加群のなす半順序集合について

与えられた有限次元代数に対して傾加群を分類することは非常に重要な問題である。この問題への一つのアプローチがRiedtmann-Schofieldによって導入された傾変異の理論である。一方、Happel-Ungerによって傾加群のなすある半順序集合が傾変異と密接に関わっている事が示されている。本講演では前射影傾加群のなす半順序集合と分配束の関係について得られた結果を紹介する。

河田 貴久(Takahisa KAWADA) 名古屋工業大学大学院工学研究科情報工学専攻

群作用をもつゴッパ符号の構成法

これまで様々な符号の構成がなされ、符号長の大きな符号を構成する方法として曲線の被覆を利用する方法が開発されている。今回はリーマン球面上の目に見える図形的対称性を利用し、より実用的な幾何学的ゴッパ符号の構成法、および復号法について考える。これにより以下の利点を持つ符号を構成できる。
・符号長を大きくすることができる
・伝送速度の調節が可能
・群不変性を利用して効率よく復号できる

源嶋 孝太(Kouta GEJIMA) 大阪大学大学院理学研究科数学専攻

二次の複素特殊線形群上の新谷関数とHeunの方程式

$G=\mathrm{SL}(2,\mathbf{C})$上の保型形式の｢斜航的Fourier展開｣は、$G$の非ユニタリ主系列表現$\pi$に付随する新谷関数により記述される。新谷関数はその定義からある線形微分方程式を満たす。$\pi$が自明な極小$K$-タイプをもつ場合にはHirano(TAMS 2001)により新谷関数の明示公式が得られているが、一般には未解明である。$\pi$が$3$次元極小$K$-タイプをもつとき、新谷関数の満たす微分方程式はHeunの方程式に帰着し、その解を超幾何関数を用いて表示できたので紹介したい。証明には微分作用素の交換関係式が有効に用いられる。

光明 新(Arata KOMYO) 神戸大学大学院理学研究科数学専攻

Character Varietyの混合ホッジ構造について

Character Varietyとはリーマン面の基本群の表現をパラメータ付けするaffine代数多様体である。この多様体は非特異であるが、コンパクトではない。Deligneの混合ホッジ構造を考えると、非自明な重みフィルトレーションが現れることがわかる。この構造について様々な興味深い予想が存在する。その中でも混合ホッジ多項式に関する予想を部分的に解決したので、そのことについて解説したい。

小西 正秀(Masahide KONISHI) 名古屋大学多元数理科学研究科

$A_{n-1}^{(1)}$型巡回KLR代数の分類

Khovanov-Lauda-Rouquier代数(以下KLR代数)は2008年にaffine Kac-Moody Lie代数の圏化を目的として導入された対象である。その生成元の中にKLR冪等元というものが存在するが、これは一般には原始性を持たない。「全てのKLR冪等元が原始性を持つ」ための必要十分条件は定義からすぐ分かるが、巡回イデアルで割った場合には難しさが生じる。本講演では$A_{n-1}^{(1)}$型に対する結果を紹介する。

坂本 真(Makoto SAKAMOTO) 室蘭工業大学大学院工学研究科数理システム工学専攻

有限体$\Bbb F_p$上定義された楕円曲線の$\Bbb F_p$有理点群の構造

有限体$\Bbb F_p$上で定義された楕円曲線$E$の$\Bbb F_p$有理点群$\sharp E(\Bbb F_p)$の構造を決めるアルゴリズムを求めた。そのために群の位数を求める公式を導き，楕円曲線$E$の等分点の$x$座標の情報だけで群構造を決めることができることを示した。そして$\Bbb F_p$有理点群が互いに同型であるための条件について考察した。

佐藤 一樹(Kazuki SATO) 東北大学大学院理学研究科数学専攻

$4$変数三次同次式の有理数解について

有理数体上の射影三次曲面は常に有理点を持つとは限らず、また、Hasse原理が成り立たないような具体例も知られている。楕円曲線のTate-Shafarevich群が有限であるという仮定の下で、Swinnerton-Dyerにより、有理点をもつための定義方程式の係数についてのある十分条件が与えられている。本講演ではそれとは異なる係数の十分条件を与え、その条件の動機付けとなるBrauer-Manin障害について紹介したい。

スリアジャヤ アデ イルマ(Ade Irma SURIAJAYA) 名古屋大学大学院多元数理科学研究科多元数理科学専攻

On the Zeros of the $k$-th Derivative of the Riemann Zeta Function under the Riemann Hypothesis

リーマンゼータ関数の導関数の実数でない零点の個数及びその実部の分布は Berndt 氏、Levinson 氏と Montgomery 氏、そして赤塚氏により研究されていた。Berndt 氏、Levinson 氏と Montgomery 氏は一般の場合について研究したが、赤塚氏はリーマン予想の仮定の下で、リーマンゼータ関数の一階導関数の零点に対してより良い評価を示した。この講演では、赤塚氏の結果をリーマンゼータ関数の$k$階導関数に一般化した結果を紹介する。

中島 秀斗(Hideto NAKASHIMA) 九州大学大学院数理学府数理学専攻

等質開凸錐の基本相対不変式の決定

等質開凸錐は、その基本相対不変式がすべて正であるという条件により特徴付けられる。また等質開凸錐はクランと呼ばれる非結合的な代数と同型を除き1対1に対応しており、クランの右乗法作用素の行列式の既約因子として対応する等質錐の基本相対不変式がすべて現れる。本講演では、基本相対不変式を明示的に与える方法を紹介したい。

平島 拓真(Takuma HIRASHIMA) 名古屋大学大学院多元数理科学研究科

Newton polygonを用いた類数の可除性問題について

2次体の類数の可除性問題とは、整数nで類数の割れるものが無限に存在するかというもので、任意のnについて肯定的に解かれている。また、Gaussの種の理論により、n=2の場合は必要十分条件が古典的に知られている。Kishi-Miyake(2000)は、類数のn=3で割れる2次体の必要十分条件を述べており、Newton polygonを用いて考察がなされている。本講演では、このNewton polygonを用いて得られた結果について報告する。

穂坂 秀昭(Hideaki HOSAKA) 東京大学大学院数理科学研究科

Littlewood-Richardson係数にまつわる組合せ論

Young図形とYoung盤は組合せ論において非常に重要な対象である。その中でも特にLittlewood-Richardson盤(LR盤)と呼ばれるものは、表現論やGrassmann多様体の幾何学等とも関連する、極めて豊富なトピックを提供してくれる。今回の講演ではLR盤の個数に関する定理を組合せ論的な視点から紹介し、さらにその定理の拡張可能性について、時間の許す限りで紹介したい。

閔 正媛(Jeongwon MIN) 東京工業大学大学院理工学研究科数学専攻

有限群のウィッテンゼータ関数とウィッテン$L$-関数について

ウィッテンゼータ関数とは、コンパクト位相群$G$について $\zeta _G ^W (s)\stackrel{\text{def}}{=}\sum _{\rho\in \widehat{G}}(\deg \rho)^{-s}$と定義されるものであり、またウィッテン$L$-関数は、$g\in G$について$\zeta _G ^W (s;\,g) \stackrel{\text{def}}{=}\sum _{\rho\in \widehat{G}}\frac{\chi (g)}{\deg \rho}(\deg \rho)^{-s}$と定義されるものである。ただし、$\widehat{G}=\{G\text{の既約ユニタリ表現}\}/\sim$である。有限群のウィッテン$L$-関数は、$g\neq e$のとき、$\zeta ^W _G (-2;\,g) = 0$となる性質をもつ。今回は、様々な有限群のウィッテン$L$-関数の$s=-2$での位数について考察したい。

矢城 信吾(Shingo YASHIRO) 九州大学数理学府

Fat point の極小自由分解について

射影空間内にある点集合の極小自由分解について、以前から考察を続けてきた。まず、これらの点集合の定義イデアルの極小自由分解について結果を紹介する。また、Fat pointと呼ばれる点集合の定義イデアルの極小自由分解についてのいくつかの結果を紹介する。その際、射影平面内の曲線上に点集合があるときの極小自由分解についてがどのようになるのか？$\deg X = {\rm codim \ } X + i$となるような点集合との関連性も述べたいと思う。

横山 俊一(Shunichi YOKOYAMA) 九州大学マス・フォア・インダストリ研究所 / JST CREST

数式処理における数学と世界最速への挑戦：終結式の計算を例に

数式処理とは、代数・幾何・解析および関連する様々な数学を駆使し、更に計算機の力を合わせることによって世の中の役に立つものを生み出す分野である。本講演では自身の研究のうち、多変数多項式を成分に持つ終結式（resultant）を計算するための Magma における最速パッケージの開発と、その基盤となる行列計算の高速実装の現状について概説する。併せて、終結式計算の様々な適用例（特に産業界への応用）についても紹介する。