微分積分学II
2016年度２学期

概要

• 微分積分学の基礎を学ぶ。多変数関数についてリーマン和による定積分の定義を理解すること、広義積分を理解することが目標である。
• 成績は中間期末試験の成績のみで判定する。合否は中間期末試験の成績に 平常点を付加して判定し、総計60点以上で合格(C以上)とする。平常点は宿題とレポートの成績の合計点である。
• 宿題とレポートはこのホームページに掲載する。レポート用紙等に解答し て提出。期限及び提出方法はホームページの指示に従うこと。学生証は入室時と退出時にカードリーダーにかざす。
• 遅れて提出した宿題とレポートの平常点は半分とする。
• 最終回が終わった後の成績の問い合わせ等は受け付けない。
• 中間期末試験にはA4サイズ以下の手書き１枚（裏面使用可）を持ち込んでよいものとする。範囲内の宿題から１問出題する。

内容（日程は変わることがある）

1. 原始関数（水3:9/28,火3:10/4）：復習と逆三角関数、双曲線関数、逆双 曲線関数に関わる不定積分。
   宿題(2点)：不定積分$\displaystyle\int \sqrt{x^2+4}dx$ を求めよ。計算過程も記載す ること。提出は以後５回目までの宿題とまとめて６回目の授業開始前に教卓へ。
2. 定積分の定義と性質(水3:10/5, 火3:10/11)：区分求積法によって定積分 を定義する。
   宿題(2点):$\displaystyle\int_0^1 e^x dx$を区分求積法($x_k=k/n$)によって求めよ。
3. さまざまな積分計算(水3:10/12, 火3:10/18)：積分に関わる漸化式、方程式に帰着させる計算法。
   宿題(各2点)
   1. $n$を自然数とする。$\displaystyle I_n=\int_0^{\pi}(\sin x)^ndx$の満たす漸化式を与えよ。
   2. $m,n$を自然数とする。$\displaystyle \int_0^{2\pi}\cos(nx)\cos(mx)dx$を$m=n$の場合に注意して計算せよ。
4. 広義積分の定義と計算例(水3:10/19, 火3:10/25)：被積分関数が発散する点を積分区間に含む場合、 無限大を積分区間に含む場合に定積分を定義する。
   宿題(各2点)：$n$を自然数とする。$\displaystyle I_n=\int_0^\infty x^ne^{-x^2}dx$が
   1. 広義積分として確定することを示せ。
   2. $I_n$の満たす漸化式を与えよ。
5. 広義積分の収束条件(水3:10/26, 火3:11/1)：広義積分が存在する条件を与え、実際に広義積分の 存在を判定する。
   レポート(10点)；今回（第５回）までの内容を１ページに要約する。次回 （第６回）提出。このレポートを中間試験に持ち込みたい場合はコピーを提 出してもよい。
   宿題(2点)：$f(x)=(e^x+e^{-x})/2$について、$x=0$か ら$x=1$まで動くときに$y=f(x)$のグラフが定める曲線の長さを求めよ。
6. 宿題の解説、 ガンマ関数, ベ－タ関数 (試験範囲外, 水3:11/2, 火3:11/8)
7. 中間試験(水3:11/9, 火3:11/15, 13:05-14:25, 80分)：やむをえず欠席す る場合、必ず連絡すること。
8. 長方形領域での重積分の定義とその性質、累次積分による計算 (水 3:11/16, 火3:11/22)：長方形領域での2変数関数の重積分をリーマン和(区分求積法) によって定義し、1変数の積分を繰り返す累次積分によって具体的に計算で きることを示す。
   宿題(2点)：長方形領域$D=[2,3]\times [0,1]$について、$\displaystyle\int\int_D ye^{xy}dxdy$を求めよ。
9. 一般の領域での重積分と累次積分 (水3:11/30, 火3:11/29)：平面上の長 方形領域に限らない一般の領域上での重積分を定義し、具体的に累次積分へ 帰着させる。また、次回の準備として2次の正方行列が表す一次変換と面積 の関係を示す。
   宿題(各2点)：次の領域$D$で$f(x,y)$を重積分する。累次積分の順番をいれ かえよ。
   1. $D=\{(x,y)|x+y ≥1, x≤1, y≤1\}$
   2. $D=\{(x,y)|y≥e^x-1, x≥0, y≤ 1\}$
10. 重積分と変数変換(水3:12/7, 火3:12/6)：重積分に関する変数変換を定義 し、変数変換のヤコビアンが重要な役割を果たすことを確かめる。2x2行列 の簡単な説明。
    宿題(各2点)：
    1. $D=\{(x,y)|0≤ x+y≤ 1, 0≤ x-y≤ 1\}$について次の 重積分を求めよ。$n,m$は自然数とする。 \[\int\int_D(x+y)^m(x-y)^ndxdy\]
    2. $R>1$を定数とする。$D=\{(x,y)|1≤x^2+y^2≤ R^2, x≥0, y≥0\}$について次の重積分を求めよ。 \[\int\int_D\frac{1}{x^2+y^2}dxdy\]
11. 広義重積分の定義と計算例(水3:12/14, 火3:12/13)：重積分について 広義積分を定義し、計算例と変数変換の例を扱う。
    宿題(各2点)：次の広義重積分は発散するか有限か。
    1. $D=\{(x,y)|0<x≤1, x-1≤y≤ 1-x\}$, \[\int\int_D \frac{y^2}{x}dxdy\]
    2. $D=\{(x,y)|0≤x<1, x-1≤y≤ 1-x\}$, \[\int\int_D \frac{y^2}{x-1}dxdy\]
12. 重積分と線積分、グリーンの定理(水3:12/21, 火3:12/20)：線積分を定義 し、重積分との関係を与えるグリーンの定理を扱う。線積分を定義して計算 するところまでを期末試験の範囲に含める。
    宿題（2点）： $C=C_1+C_2+C_3$は次の通り定める。 $$C_1=\{(x(t),y(t))|0≤t≤1, x(t)=t, y(t)=0\}$$ $$C_2=\{(x(t),y(t))|0≤t≤1, x(t)=1-t, y(t)=t\}$$ $$C_3=\{(x(t),y(t))|0≤t≤1, x(t)=0, y(t)=1-t\}$$ $P(x,y)=2xy$, $Q(x,y)=x^2-y^2$について 線積分$\int_C P(x,y)dx+Q(x,y)dy$を求めよ。定義に従って求めてもグリー ンの定理を使っても良い。
    レポート(10点)；今回（第12回）までの内容を１ページに要約する。読むこ とで提出者が重要だと思う点が読み取れるように書くこと。感想文とは違 うことに注意すること。 次回（第13回）提出。このレポートを期末試験に持ち込みたい場合はコピーを提 出してもよい。
    
13. 担当教員体調不良のため休講：宿題とレポート提出は期末試験時に提出。 期末試験は予定通り。3変数関数の積分と体積(試験範囲外, 水3:1/11, 火3:1/10)
14. 期末試験(水3:1/18, 火3:1/17, 13:05-14:25, 80分)

    02160877 02160895 02160899 02166130 02169143 02150707 02156110