行列とベクトル超入門

2次元の行列とベクトル

縦ベクトル、横ベクトル

2次元の横ベクトル\(u=(a,b)\)と縦ベクトル\(v=\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\)について、両者の積を次で定義する。 \((a,b)\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=ax+by\)

行列

\(A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\)と書いて、$A$を2次 の正方行列とよぶ。 横ベクトル\((a,b)\)を$A$の第1行、横ベクトル\((c,d)\)を$A$の第2 行とよぶ。これらを総称して$A$の行ベクトルあるいは$A$の行とよぶ。 同じように、縦ベクトル$\begin{pmatrix}a\\ c\end{pmatrix}$を$A$の第1 列、縦ベクトル$\begin{pmatrix}b\\ d\end{pmatrix}$を$A$の第2 列とよぶ。これらを総称して$A$の列ベクトルあるいは$A$の列とよぶ。

行列とベクトルの積

行列$A$を左から縦ベクトル$v$にかける積$Av$は縦ベクトルになる。次のように定義する。 \[\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax+by\\ cx+dy\end{pmatrix}\] 行列$A$の第1行ベクトルと$v$の積を第1成分とし、 行列$A$の第2行と$v$の積を第2成分とする縦ベクトルが$Av$である。

行列と行列の積

$A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}e & f\\ g & h\end{pmatrix}$について、$AB$を次で定義する。 \[\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e & f\\ g & h\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ae+bg & af+bh\\ ce+dg & cf+dh\end{pmatrix}\] $B$を列ベクトル $b_1={}^t(e,g)$, $b_2={}^t(f,h)$の並び$B=(b_1,b_2)$とみなして考え れば、行列と縦ベクトルの積を並べたことに等しい。 一般に、行列の積は可換ではない。順序に依存する。

単位行列

\(I=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\)を単位行列とよぶ。 単位行列と行列\(A\)について、\(AI=IA=A\)である。単位行列は通常の数におけ る1に相当する。

逆行列

行列\(A\)について、\(AB=BA=I\)を満たす行列\(B\)を\(A\)の逆行列とよ び、\(A^{-1}\)とかく。 \[A^{-1}= \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}\] である。逆行列は通常の数の逆数に相当する。

行列式

\(ad-bc\)を\(A\)の行列式とよび、\(det(A)\),\(|A|\)などの記号を 使う。\(det(A)=0\)の時、\(A^{-1}\)は存在しない。