【 レビュー集 Special Lagrangian 編 】
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２００５年８月９日，石川 剛郎による「勝手にレビュー」
こんにちは石川剛郎です．
N. Hitchin, Lectures on Special Lagrangian Submanifolds. の
第２節 Moduli spaces of special Lagrangian submanifolds のレヴュー（というより，単なる勉強メモですが）を書きます．
2.1.
いろいろな話が絡み合うカラビ・ヤウ多様体
は，複素 $n$ 次元ケーラー多様体で，正則 $n$ 次微分形式 $\Omega$
で，いたるところ消えず，
共変微分 $\Delta\Omega = 0$ となるものが存在するもののこと．
言い換えると，ホロノミーが $SU(n)$ に入るようなリーマン多様体のこと．
ケーラー形式 $\omega$ はシンプレクティック形式．
$\Omega = \Omega_1 + i \Omega_2$ と実部と虚部に分ける．
$Z$ をカラビ・ヤウ多様体とする．
その部分多様体 $M$ が特別ラグランジュ部分多様体
とは，ラグランジュ部分多様体であって，さらに $\Omega_2 \vert_{M} = 0$
となるもの．
このとき $\Omega_1$ を $M$ に制限すれば体積要素．
2.2.
とくに $3$ 次元の場合を考える．
向きづけられた３次元閉多様体 $M$ に体積要素 $V$ が与えられているとする．
そして $M$ から ３次元カラビ・ヤウ多様体 $Z$ への $C^\infty$ 写像の全体の空間 $N = C^\infty(M, Z)$
を考える．
$f : M \to Z$ における$N = C^\infty(M, Z)$ の接空間は $f$ に沿った
ベクトル場の全体の空間と同一視できるが，$f$ に沿ったベクトル場
$X, Y : M \to TZ$ に対して，$Z$ のシンプレクティック形式 $\omega$ を使って，
$$
\varphi(X, Y) := \int_{M} \omega(X, Y) V,
$$
とおくと，
$N = C^\infty(M, Z)$ に
「シンプレクティック構造」が入る．
$G = Diff_V(M)$ を $M$ の体積 $V$ 保存微分同相写像のなす群とする．
$G$ のリー環 ${\mathcal G}$ は，$X \mapsto i(X)V$ により，
閉２形式の全体と同一視できる．したがって，${\mathcal G}$ から
ド・ラーム $H^2(M, \R)$ への全射ができる．その核を ${\mathcal G}_0$
とおく．
${\mathcal G}_0$ は，完全２形式の空間であり，
その双対は，１形式全体を閉１形式全体で割った空間である．
${\mathcal G}_0$ をリー環とする群を見つけるのに，gerbe が役に立つ．
$M$ の体積を $2\pi$ とすると，
$[V/2\pi] \in H^3(M, \Z)$ なので，曲率形式が $V$ になるような gerbe が存在する．
（"degree one gerbe").
その gerbe のホロノミーがきめる写像 $G \to H^2(M \to \R/\Z)$
を $G$ の単位元の成分に制限したときの $1$ の逆像を $G_0$ とかくと，
$G_0$ はモーメント写像をもつ．
$N = C^\infty(M, Z) \to H^2(M, \R) = H^2_{DR}(M, \R)$ が，
$f \mapsto [f^*\omega]$ で定義される．
$[f^*\omega] = 0 \in H^2(M, \R)$ となる写像全体を $N_0 = C^\infty(M, Z)_0$
と書く．
各 $f \in N_0 = C^\infty(M, Z)_0$ に対して，$[f^*\omega] = 0$ なので，
$f^*\omega = d\theta$ となる $1$-form $\theta$ が closed $1$-form 分を除いて
ユニークに決まる．
したがって，$[\theta] \in {\mathcal G}_0$ が決まる．
この写像
$$
\mu : N_0 = C^\infty(M, Z)_0 \to {\mathcal G}_0, \mu(f) = [\theta],
$$
は，群 $G_0$ の $N_0 = C^\infty(M, Z)_0$ 上の作用のモーメント写像である．
このモーメント写像の零の逆像は，isotropic map 全体である：
$$
\{ f : M \to Z \mid f^*\omega = 0 \}.
$$
2.3.
次に，special Lagrangian の条件．
$I : TZ \to TZ$ を $Z$ の複素構造とする．
$X : M \to TZ$ を $f : M \to Z$ に沿ったベクトル場とする．
このとき $IX : M \to TZ$ もそう．こうして，
$C^\infty(M, Z)$ に複素構造が入る．
$$
{\mathcal S} = \{ f \in C^\infty(M, Z) \mid [f^\omega] = 0, f^*\Omega_2 = 0,
\Omega_1 = V \}
$$
とおくと，
${\mathcal S}$ は $C^\infty(M, Z)$ の複素部分多様体．
上のモーメント写像を ${\mathcal S}$ に制限したとき，零の逆像は，
（パラメトライズド）特別ラグランジュ部分多様体で，誘導される体積要素が $V$ になるものの全体である．
そして，そのシンプレクティック商として得られるケーラー多様体が得られるが，
これは
「特別ラグランジュ部分多様体とその上の degree one gerbe の組のモデュライ空間」と考えられる．
2.4.
McLean の仕事との関連を論じている．
moduli space の tangent space に対応するベクトル場 $X : M \to Z$
を $M$ に接する成分 $X_t$ と法成分 $X_n$ に分けると，その法成分に対して，
$i_{X_n}\omega$ は調和 $1$-形式となる．
最後に，real Monge-Amp\`ere 方程式
$$
\det \dfrac{\partial^2\phi}{\partial x_i\partial x_j} = const,
$$
との関係を論じている．
２００５年６月１６日，石川 剛郎による「勝手にレビュー」
N. Hitchin, Lectures on Special Lagrangian Submanifolds.
の第１節 Gerbes
を読みました．Gerbe が，３次のコホモロジーや余次元３の部分多様体に対する概念，
開被覆の３つの開集合の共通部分を考えるものであることがわかりました．さらに，
gerbe の trivialization, connection などが議論されています．
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