【 メール・レビュー集 M-theory 編 】

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２００４年７月２７日，石川 剛郎による「勝手にレビュー」

M. Atiyah, J. Berndt, Projective planes, Severi varieties and spheres.
の 4. Orbit structures と 5. An Explicit Map を読みました．Theorem A (p.12)の証明が書いてあります． Theorem A は，有名な結果「$\C P^2/conj$ が $S^4$ と微分同相」 の一般化ですが，本当にこれで証明になっているのか，私(石川)は いま一つ納得できません． (もともとの Kuiper や Massey の PL topology の結果を使った証明 は(それはそれでわかった気がしないが) ともかく，Arnold による直接的な証明も，それで証明になっているのか 前々から疑問に思っていました．この論文の証明も，Arnold の 証明と基本的に同じ発想の証明ですが，そもそも「商空間の微分構造とは何か」 ということを十分に書ききっていないように思います． 不遜ながら，でも正直に「わかりません」と言っておきます．

それから，
J. Adams, M.F. Atiyah, K-theory and Hopf invariant, Quart. J. Math. 17 (1966), 31--38.
を眺めてみました．結局 K-theoryを使って，$n$ 次元球面 $S^n$ 上に Hopf invariant one が存在するのは， $n = 1$ か $n = 2m$ で $2^m$ が $3^m -1$ を割り切るときだ， だから，$n = 1, 2, 4, 8$ に限るのだ， ということに持ち込んで示されるのだ，ということがわかりました． (もちろん，K-theory の奥義がわかったわけではありませんが)．
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２００４年６月１１日，石川 剛郎による「勝手にレビュー」

M. Atiyah, J. Berndt, Projective planes, Severi varieties and spheres.
の 3. Projective plane を一読しました．ここに書いてあることがらは， 我が国では，敬愛する横田一郎先生の名著
「群と位相」「群と表現」「古典型単純リー群」「例外型単純リー群」
で十分おなじみなことだと思います．ちなみに，私(石川)は大学２年生のときに， (現在神戸大にいる S 氏らと一緒に) 三村護先生のセミナーで「群と表現」を読みました．最後までは全然行かなかったけれども．

それはそうと，論文を読んでいたら，topological な話で，
J. Adams, M.F. Atiyah, K-theory and Hopf invariant, Quart. J. Math. 17 (1966), 31--38.
を読みたくなりました．Atiyah ももちろん偉大な数学者ですが，Adams も決定的な結果を残した(玄人好みのする)偉大な数学者ですね． ぜひ，暇を見つけて，Adams の論文をじっくり読んでみたいと思っています．

ところで，現在北大で，A氏主宰の「簡単かるたんセミナー」というのがあり， そこで，
Thomas A. Ivey, J. M. Landsberg, ``Cartan for Beginners: Differential Geometry Via Moving Frames and Exterior Differential Systems'', A.M.S. 2003.
を読んでいるのですが， その本の p.200 に calibrated submanifolds と関連して M-theory の名前が 出てきます．参考文献としては，
D. Cox, S. Katz, Mirror symmetry and algebraic geometry, AMS, 1999.
が挙げられています．
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２００４年５月１０日，石川 剛郎による「勝手にレビュー」

ゴールデンウィーク中にようやく
M. Atiyah, J. Berndt, Projective planes, Severi varieties and spheres.
の 1. Introduction, 2. Projective Lines, Hopf Maps and Branching を読みました．
この論文の目標の１つは，自然な微分同相
$\C P^2/O(1) \cong S^4, \H P^2/U(1) \cong S^7, \O P^2/Sp(1) \cong S^{13}$
があることを示すことです．
%\C は複素数体，\H は４元数体，\O は８元数体．
それぞれの体上の射影平面の商が，(ある次元の)球面に微分同相である， という発見についてです．
$O(1) \ZZ/2\ZZ$
%\ZZ は整数全体
は，複素射影平面 $\C P^2$ に複素共役として作用します．
「複素射影平面を複素共役で割った空間は４次元球面と微分同相」 という事実は，ヒルベルト第１６問題の前半において， 実代数曲線のトポロジーを複素化を通して４次元トポロジーと 結び付けるときに鍵となる事実です．
それがきれいに一般化される，しかも M-理論などに関連して応用される(らしい)という ことは驚きでした．
ところで，normed division algebra は $\R, \C, \H, \O$ の４つあるので，
$\tilde{\R P^2} \cong S^2$
(ただし，$\tilde{\R P^2}$ は $\R P^2$ の non-trivial double covering) を付け加えるとよいかな，と思いました．
それはともかく，射影平面の複素化が球面の "branched fibration" である，ということ(これも４つある)を示すのがこの論文のもう１つの目標です．
これは，$\C P^2$ への $SO(3, \C)$ 作用に関する結果の一般化であり， これもまた興味深いものです．
ところで，私(石川)は，もともと normed division algebra の分類定理(や Hopf invariant one 問題)が好きで，$\R, \C, \H, \O$ について あれこれ考えているときは至福の極みです． (単純リー環の分類定理も好きだけど)．
昔，Legendre 特異点論に関係して，空間曲線の tangent developable の特異点の分類をしていたとき， 当時，北大におられたM先生に，$\R P^3$ 内の Monge-Amp\`ere 方程式 $rt - s^2 = 0$ の大域解は $\R P^2$ に限る，ということを教えてもらいました． (tangent developable は $rt - s^2 = 0$ の解になるので関係するわけです)． そこで，その後，$\R P^4$ の類似の(つまり Gauss 写像が退化する)超曲面も $\R P^3$ に限るだろうと単純に予想し，$\R P^3$ に限ることを 証明しようと，かなりの間もがいていて，じゃあ，projective dual の方から攻めてみて，まず $\R P^4$ の中の， ２次の parametrization をもつような曲面の projective dual は 必ず特異点をもつ，ということだけでも証明してみようと試してみたら， 結局，特異点のない例が見つかりました． これは，M先生との共著論文に結実しました．
その構成をみると，複素数や４元数を使っても同様に例を作れるな， ということまではわかったのですが， 構成がきれいなので，きっと誰かがやっているだろうと インターネットで調べて，紆余曲折の後ようやく，等径超曲面の重要な例である Cartan 超曲面(の特別なもの)に行き着いたわけです． 結果的には，すでに知られていることを組み合わせただけ， すでに知られていることを追認識したにすぎない， などということかもしれませんが， 数学をするということには，多かれ少なかれ， そういう面があるし， 誰かがすでにやっているだろう， てなことばかり言っていたら何もできなくなるし， 無鉄砲に数学をやることは (後の始末を自分でつけることを厭わなければ) 非常にスリリングで楽しいことであると感じました．

失礼しました．閑話休題，２節のレビューをしましょう．
$A_n$ を normed division algebra とします． $n = 0, 1, 2, 3$ のとき，それぞれ，$A_n = \R, \C, \H, \O$ です．その上の射影直線 $A_n P^1$ を考えます． それぞれ $1, 2, 4, 8$ 次元球面と同相です．
ところで，４元数は quaternion で良いのですが， ８元数の呼び方で，octonion, octanion, octonian という３種類があるのを 発見しました．どれが一番良い言い方なのでしょうね． (ちなみに，octanian というのはまだ見たことがありません)．
閑話休題，$A_n P^1$ は，$(A_n)^2$ の直線の全体なので，tautologial line bundle を持ちます．その dual line bundle を $L_n$ と書きます． さて，次の一節
The line bundle $L_n$ generates the reduced real K-theory of sphere of dimension $2^n$, and the octonionic line bundle $L_3$ induces a periodicity between the reduced real K-theories of higher-dimensional spheres, known as Bott periodicity.
を読んだとき，さすが Atiyah 先生だなと，深い感動を覚えました． それはともかく， $A_n P^1$ 上の sphere bundle $S(L_n)$ は球面であり， $S(L_n) \to A_n P^1$ は Hopf bundle になります． ($n = 1$ の場合は，Clifford までさかのぼるそうです)．
ところで，Clifford と言えば，岡潔さんの随筆に出てくる Clifford の定理 についての話を M先生から教えてもらったことがあります．その影響で， Clifford 全集全一巻を少し眺めてみました． 変なこともいろいろ書いてあって楽しめそうでした．
またまた閑話休題， (Clifford-)Hopf fibration $S(L_1) = S^3 \to \C P^1 = S^2$ を考えましょう． 対応して，$\C^2 = \R^4$ 上の $U(1) = S^1$ 作用 $(\alpha, (z_1, z_2)) \mapsto (\alpha z_1, \alpha z_2)$ による商空間を考えます．それは $S^2$ の cone であり，$\R^3$ になります． つまり，branched $U(1)$-fibration $\R^4 \to \R^3$ が得られますが，これが磁気モノポールを記述するので物理で重要だそうです． 電荷の量子化がこの bundle によって記述されるということが Dirac による 偉大な発見でした． この $\R^4$ は，Dirac monopole の Kaluza-Klein model と 呼ばれています． M-theory でも，より一般に，余次元３の分岐が現れ， Atiyah-Witten の論文で調べられています．
ただ訳しているだけですが，ともかく， Lie 群 $G$ の closed subgroups $K, K_1, K_2$ で $K \subset K_1 \cap K_2$ に対して，double fibration $G/K \to G/K_1, G/K \to G/K_2$ が出てくる状況(たとえば，$G = SO(3)$ の $\C P^2$ への作用の isotopy groups)を研究するという感じで，２節が終わりです．
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２００４年４月１７日
M 理論の "M" は何をさすか？
M 先生から教わったことによると，

Ｍ：母なる理論のMother
11次元での膜理論のMembrane
根元理論は行列模型のMatrix
究極の神秘な奇跡の理論のMisterious, Miracle

だそうです．
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