中心アファイン曲率が一定の平面曲線を描きました． 同次定数係数２階線形常微分方程式を解くことによって得られます．

ell[k_][t_] := {Exp[(1/2)k t ] Cos[(1/2)(4 - k^2)^(1/2) t], Exp[(1/2)k t ] Sin[(1/2)(4 - k^2)^(1/2) t]}

trn[t_] := {Exp[t], t Exp[t]}

par[k_][t_] := {Exp[(1/2)(k + (k^2 - 4)^(1/2))t], Exp[(1/2)(k - (k^2 - 4)^(1/2))t]}

hyp[k_][t_] := {Exp[(1/2)(k + (k^2 + 4)^(1/2))t], Exp[(1/2)(k - (k^2 + 4)^(1/2))t]}

ParametricPlot[ ell[0][t] // Evaluate , {t, - Pi , Pi}, AspectRatio -> 1]

ParametricPlot[ ell[1][t] // Evaluate , {t, -Pi , Pi}, AspectRatio -> 1]

ParametricPlot[ ell[-1][t] // Evaluate , {t, - Pi, Pi}, AspectRatio -> 1]

ParametricPlot[ trn[t] // Evaluate , {t, - Pi, Pi}, AspectRatio -> 1]

ParametricPlot[ par[4][t] // Evaluate , {t, - Pi, Pi}, AspectRatio -> 1]

ParametricPlot[ par[-4][t] // Evaluate , {t, - Pi, Pi}, AspectRatio -> 1]

ParametricPlot[ par[8][t] // Evaluate , {t, - Pi, Pi}, AspectRatio -> 1]

ParametricPlot[ hyp[0][t] // Evaluate , {t, - Pi, Pi}, AspectRatio -> 1]

ParametricPlot[ hyp[2][t] // Evaluate , {t, - Pi, Pi}, AspectRatio -> 1]

ParametricPlot[ hyp[-2][t] // Evaluate , {t, - Pi, Pi}, AspectRatio -> 1]

ParametricPlot[ hyp[4][t] // Evaluate , {t, - Pi, Pi}, AspectRatio -> 1]

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