第8回数学総合若手研究集会

アブストラクト

タイトル： Popaの埋め込み問題について
アブストラクト：どのようなPolish群が有限von Neumann環のユニタリ群に埋め込めるかという問題を考えます．ここでPolish群とは，可分で完備距離付け可能な位相群のことです．この問題は2005年，Sorin Popaによって提起されました．この講演では具体例を中心に，基本的なことからこの問題について解説したいと思います．この研究は安藤浩志氏（京都大学）との共同研究です．

タイトル：「あみだ＝コクセター群＋ブリュア順序」
アブストラクト：対称群は、群構造だけでなくきわめて面白い順序構造をあわせ持つことを概説する。特に、あみだくじを考えるのがこのふたつの構造が交差を見るのに非常に良い例である。予備知識を群論と順序集合のみに限り、例をあげながらコクセター群を定義する3種のコクセター関係式、ブリュア順序まで議論を展開する。さらに、現代数学への様々な分野への応用を述べる。（※ちなみに私の著書（あみだくじの数学、共立出版、2011）の第1〜4章のハイライトです。http://www.amazon.co.jp/gp/product/4320019857/ref=s9_simh_gw_p14_d15_g14_i1?pf_rd_m=AN1VRQENFRJN5&pf_rd_s=center-4&pf_rd_r=1W4X8PX5Y8X84YKAVXPC&pf_rd_t=101&pf_rd_p=463376796&pf_rd_i=489986

タイトル：カラテオドリー測度双曲多様体上の標準束及び余接束の正値性
アブストラクト：カラテオドリー測度とはポアンカレ体積形式を一般の複素多様体に拡張したものであり,それが非自明なときに双曲的であるという.この講演では, コンパクト多様体に対するカラテオドリー測度双曲性と標準束や余接束等の正値性の関係について紹介する. 実際は,標準束の豊富性や巨大性を表す量とその測度双曲性を表す量が比較できる. もし可能なら, 余接束の正値性をカラテオドリー計量という複素フィンスラー計量の解析から導く話もする.

タイトル：拡大次数を制限した類体塔の無限性
アブストラクト：類体塔は、与えられた代数体から定まる体拡大の列であり、その無限性は整数論における古典的な問題のひとつである。通常、類体塔の無限性は素数 pによって定まる p 類体塔を通して考察され、p 類体塔が無限であれば類体塔も無限であることが知られている。しかし、この逆は一般には成立しない。そこで本講演では、「この逆が成立しないような体はどの程度存在するか」という問題について、類体塔の拡大次数に制限を加えたものを通して考察する。

タイトル： Product Integration Related to Quantum Zeno Dynamics
アブストラクト：通常の積分が和を用いて定義されるのに対し、積に関する積分に対応する概念が乗積分（product integration）である。本講演では、乗積分の応用例の一つとして、正射影作用素を含む無限積の収束性を論じる。物理的には、この極限は、高頻度の観測下における量子系の時間発展（量子ゼノンダイナミクス）を与えることがわかる。

タイトル： Determining nodes for semilinear parabolic evolution equations in Banach spaces
アブストラクト：有界領域上の半線型熱伝導方程式、Navier-Stokes方程式などに対する初期境界値問題について、Determining nodesと呼ばれる有限個の点からなる集合の存在を考察する。 Determining nodesは時間大域的な解に対する概念であり、もし存在すれば、Determining nodesでの解の漸近挙動から領域全体での解の漸近挙動を一意に決定することができる。 本講演では、より一般的なBanach空間上の半線型放物型発展方程式に対する初期値問題について得られたDetermining nodesのLp理論を紹介する。

タイトル：多様体上の折り目写像
アブストラクト： Morse理論とは, 多様体を自身の上の良い関数(Morse関数)を用いて調べるというものであるが, 値域を実数から一般の多様体(但し定義域より次元の高くないもの)に変えた一般型が, 1950年代のThom, Whitneyの研究に始まり今に至るまで盛んに研究されている。一般型でも良い写像が重要になるが, 中でもMorse関数の最も自然な一般化である折り目写像が重要で, 盛んに研究され続けている。講演では折り目写像について講演者の最近の研究含め紹介する。

タイトル： Torsion on theta divisors of hyperelliptic jacobians and p-adic Sato theory
アブストラクト：本講演では, 方程式 $y^2=x^{2g+1}+x$ $(g\ge2)$ によって定義される超楕円曲線のJacobian 多様体のテータ因子上に,ある位数の torsion が存在しない, という結果を紹介する.主結果の証明方法には,素数次フェルマー曲線の巡回商に対して類似の結果を示した,Andersonによる$p$-進タウ関数を用いた手法を用いる.

タイトル：回転球殻内のBoussinesq熱対流問題の安定性と分岐構造及び熱対流が両側球に及ぼす影響
アブストラクト：回転球殻内のBoussinesq熱対流問題について，臨界点から分岐する，経度方向に伝播する定常進行波をNewton法によって求め，その安定領域を定めた．またこの定常進行波が両側球面に及ぼすトルクを計算し，その大きさは内側球の回転角速度を変化させるのに十分な大きさであることを見出した． さらに両側球がトルクを受けて三軸回転するモデルを構築し数値計算を行った結果，臨界点から分岐する定常進行波の安定領域および熱対流パターンは両側球が同期回転する場合とほとんど変化がないが，Rayleigh数を増大させると定常進行波が不安定化し，内側球と外側球の回転軸が同方向の状態から有意な角度をもつ状態へと遷移することを見出した．

タイトル：確率解析的手法による二階の線形偏微分方程式の固有関数の減衰評価について
アブストラクト：伊藤拡散過程の生成作用素である二階の偏微分作用素にポテンシャルが加わった場合の固有値問題について考察する。固有値が存在する場合、その固有関数の減衰評価を確率解析的な手法によって与える。

タイトル：測度距離空間の Coarse Ricci 曲率
アブストラクト：リーマン多様体上に定義されるRicci曲率の距離空間への一般化としてLott-Villani,Sturmによる曲率次元条件はよく知られている。これらは離散的な空間とは相性が悪かったのでOllivierが空間とその上のランダムウォークに対してcoarse Ricci曲率というものを定義した。本講演ではcoarse Ricci曲率と曲率次元条件との関係について述べる。またランダムウォークから定まるラプラシアンの固有値と曲率の下限の関係についても述べる。

タイトル： categoryのオイラー標数と重心細分
アブストラクト：オイラー標数というのは単体的複体やセル複体などの幾何的対象に対して定義されるが、categoryに対しても定義される。Leinsterがfinite category(object,morphismの数が共に有限)に対してオイラー標数を定義した。その一方で単体的複体には重心細分という操作があり、オイラー標数は重心細分を取っても不変であるが、categoryに対しても重心細分の概念がある。私はcategoryのオイラー標数が重心細分による不変性があるかどうか、という問題を考えてきた。今回はその結果について発表する。

タイトル： ON THE PARAMETER DEPENDENCE OF THE BERGMAN KERNELS OF RECTANGLES
アブストラクト： We study the parameter dependence of the Bergman kernels of rectangles. We give the explicit expression of Bergman kernels on the rectangles $D_{\zeta}=\{z=s+it\,|\,0<s<\Re\zeta,0<t<\Im\zeta \}$ where $\zeta=1+i+\varepsilon$, $ |\varepsilon|$ is small enough, by using the Schwarz-Christoffel transformation and apply it to show that $\log K_{D_{\zeta}}(z,z)$ approaches zero when the point $(z,\zeta)\in \mathcal{D}=\bigcup_{|\zeta-(1-i)|<\delta}D_{\zeta}$ tends to a singular boundary point $(0,1+i)\in \partial\mathcal{D}$.

タイトル： Initial Boundary Value Problem for Model Equations of Resistive Drift Wave Turbulence with Stepanov-Almost-Periodic Initial Data
アブストラクト：講演では、核融合装置トカマク内における抵抗性ドリフト波乱流のモデル方程式に対する初期値境界値問題についての研究成果を紹介する。今回は、外部からかけられた磁場方向にStepanov-almost-periodicな初期値が与えられたとき、Stepanov-almost-periodicな解が存在することを、初期値をBohr-Fourier級数展開する方法で求める。また、Hasegawa-Wakatani方程式に対しても同様な結果が成り立つので、その結果も紹介する。

タイトル：スカラー曲率一定計量の新しい例
アブストラクト：二次元球面上の非自明な二次元球面束の上にスカラー曲率一定のRiemann計量を構成した. それらの計量は球面への射影がRiemann沈め込みになるという性質を持ち, 等長変換群が三次元球面を含むという意味で対称性が高い. また, それらの計量の曲率, 体積, スカラー曲率の積分, 及びWeyl共形不変量を明示的に計算することができた. 計算結果を見ると, これらの計量の中には単なるスカラー曲率一定計量よりも"良い"計量が含まれていることが期待される.

タイトル：ポテンシャルの最大点に関する幾何学的考察 Maximum points of various potentials from a geometric viewpoint
アブストラクト：単調減少関数を核とする距離核ポテンシャルの最大点に関する幾何学的な考察をする。ポテンシャルの積分領域がコンパクトな場合に、その最大点は、積分領域の中心とも言えるような場所にあることがわかる。したがって、ポテンシャルの最大点を用いて、領域の新しい中心が定義できる。特に、その中心の一意性が成り立たない例を挙げ、一意性が成り立つための十分条件を与える。また、ポテンシャルがパラメータtに依存する場合、tを十分大きくしたときの中心の漸近挙動についても議論する。

タイトル： The scientific disputes relating to the formulation of Navier-Stokes equations between Navier and Poisson.「Navier- Stokes方程式定立時のNavierとPoissonの数理論争」
アブストラクト： Navier-Stokes方程式定立時には連続体概念の登場で、流体運動方程式にも共通する弾性体の運動方程式（波動方程式）に用いる分子間距離に依存する関数を巡ってある数理問題があった。Poissonが自分の物理とのConsistensyから数学を定義する時、積分で表すことが出来ず総和(sum)でなければならないと主張するPoissonと、一方でNavierの物理からはその必要性を認めず、Poissonの方法は変則的だと攻撃する論争から流体数理古典理論を考える。

タイトル：局所スペクトルを用いた大自由度力学系の解析
アブストラクト：スペクトルは力学系を解析する上で基本的な量であるが、通常、力学系におけるスペクトルというと、力学系の分布関数の時間発展を記述するPerron-Frobenius演算子のL^2空間でのスペクトルをさすのが一般的である。本講演では、そのスペクトルとは別に力学系の個々の軌道の各時刻において定義される局所スペクトルという概念を提案する。この局所スペクトルはL^2空間でのスペクトルに比べ軌道回りの局所的な情報を拾うことができるものであるため、時空間の間欠的な挙動を調べるのに適している。この概念を用いて大自由度力学系における種々の概念、ミルナーアトラクター、アーノルド拡散、カオス的遍歴、の解剖を試みる。

タイトル： 3次元球面の外的平坦曲面
アブストラクト： O'Neill-Stielの定理により，3次元球面内の完備な外的平坦曲面 (ガウス・クロネッカー曲率が常に消える曲面)は全測地的なものに限ることが知られているが，ある種の特異点を許容すると非自明な例が数多く存在する．本講演では，それらの分類結果を紹介する．鍵となる考えは，3次元球面のミニツイスター空間に付随する計量を用いることである．また，分類の応用として，双対性と焦面に関する結果も紹介する．

タイトル：ミルナー束の組が誘導するトーラスへの可微分写像の特異点
アブストラクト：ミルナー束の理論はｎ変数多項式fにより定まる可微分写像f/|f|の理論であり、それは原点の十分近くで特異点を持たない。同様にg/|g|も原点の十分近くで特異点を持たないが、(f/|f|,g/|g|)という可微分写像を考えると、それが原点のいくらでも近くで特異点を持つことがある。本講演ではこの写像の特異点およびその型の判別について、さらにその具体例として折り目特異点の例等を述べたい。

タイトル： On alternating analogues of the Mordell-Tornheim double and triple zeta values
アブストラクト： Mordell-Tornheim型多重ゼータ関数の自然数全体をわたる和に合同条件を付けた類似Mordell-Tornheim型多重ゼータ関数を与える。ここでは、その特殊な場合の２重と３重の類似Mordell-Tornheim型ゼータ関数の正の整数点での値について得た結果を述べる。

タイトル：微生物の流体力学と帆立貝定理
アブストラクト：ストークス流体中では，帆立貝のような往復運動では微生物は移動できないこと（帆立貝定理）が知られている．まずこの定理に関して，生物の変形を明確に定義して証明を与える．次に，生物や流体の慣性を考慮した場合にこの定理がどのように破れるのかを調べるため，ボルボックスやゾウリムシのような繊毛で泳ぐ微生物の数理モデル(Lighthillのsquirmerモデル)を拡張し，その結果について議論する．

タイトル：定電場へと漸近する時間変動電場内での２体散乱問題
アブストラクト：ゼロでない定電場へと収束するような時間変動電場が存在する２体問題について、最近得られた結果について解説したい。伝播評価をすべて積分型の一様評価で得ることにより、相互作用ポテンシャルの滑らかさの条件を緩和できることについて詳しくのべる。

タイトル：リーマン多様体上の最適化アルゴリズムおよびその行列計算への応用
アブストラクト：ある領域で定義された実数値関数の最小点を求める問題を最適化問題という。ユークリッド空間での最適化問題は盛んに研究されており、変数に制約条件がない問題に対するアルゴリズムは、制約条件がある問題に対するものより良い振る舞いをする。しかし、制約条件がある問題であっても、それを多様体上の制約条件なしの問題と見なせる場合があり、その場合は幾何学的な考察により性質の良いアルゴリズムを導出できる。本講演ではその実例として、特異値分解が最適化問題に帰着されることを述べ、その問題の解法および数値計算結果を紹介する。

タイトル：自然数を8s個の平方数で表す方法の個数の明示公式
アブストラクト：自然数を8s個の平方数, または立法数で表す方法の個数の明示公式について得られた結果を紹介する. 証明には, モジュラー形式におけるEichler-Shimura理論や多重ゼータ値の関係式族である, double shuffle relationが重要な役割を果たす.

タイトル：連続時間の酔歩過程に対する緩和関数
アブストラクト： X,X_1,X_2,...を独立で一様に分布した確率変数としよう。NをXに独立なポアソン過程として Q_t = Q_0 + sum_{i=1}^{N_t} X_i とおく。 Q_t は時間的に連続な酔歩過程の時刻tでの位置Q_0は乱雑な初期位置である。最初に E[exp(i int_0^t Q_s ds)] = phi_{Q_0}(t) e^{-lambda*t} exp(lambda tint_0^tphi_x(ty) dy), (1) を証明しよう。ここで lambda はポアソン過程の変数で phi_{Q_0} と phi_x はそれぞれ Q_0 と X, の特性関数である. E[exp(i　int_0^t Q_s ds)] は物理において重要な関数である。これにより例えばスピン集合系の位相が、環境との乱雑な相互作用により喪失する様をモデル化できる。これは緩和関数（relaxation function）と呼ばれる。この発表では位相のコヒーレンスについて、いくつかの簡単な例を用いて説明する。そして (1) 式を用いて他の研究グループにより調べられた電子と陽子のスピンの緩和のデータの解析を行う。

タイトル： On absence of embedded eigenvalues and a unique continuation property for discrete Schr\"{o}dinger operators
アブストラクト：コンパクト台ポテンシャルを持つ正方格子上の離散Schr\"{o}dinger作用素の埋蔵固有値, 及び最小増大度とその応用について論じる.離散モデルの場合には, 解のHankel関数による取扱いができない.さらに, 偏微分方程式の場合では基本的であるRellich型の定理が成り立たないことが分かった.そのため, 一意接続の定理等によって証明できた諸々の事実を証明するには別の方法が必要となる.連続モデルの場合には出現しなかったこの種の反例は連続モデルと離散モデルの大きな違いと思われる.本研究は磯崎洋教授との共同研究の中に含まれるものである.

タイトル：カンドルと低次元トポロジー
アブストラクト：カンドルとは或る代数系であり、おおよそ等質空間G/Hに入る良い二項演算の事である. カンドルは, 余次元２の実多様体の組の研究に相性がよい. 特に筆者は, (曲面)結び目, 閉３次元多様体, ４次元レフシッツ束への, カンドルの適用法を幾らか進展させた. また群ホモロジーに類似物の, カンドルの分類空間が知られる. 筆者はそのコホモロジー群やホモトピー群を幾つか計算し、位相幾何的にもささやかな応用を与えた. 本講演では, カンドルと分類空間と適用法について紹介する.

タイトル： Towards algebraic K-theory of local fields at the prime 2
アブストラクト： Hesselholt-Madsenの仕事により、局所体、特に局所数体の代数的K理論は、その剰余体の標数pが奇素数である場合に、位相的巡回ホモロジーへの円分跡写像を介することにより深く解析された。しかしながら、p=2のとき、この仕事のアナロジーに対して多くの問題が発生する。本講演では、これらの問題の解決への新しいアプローチの紹介、及びそこから得られた新しい結果を述べる。

タイトル：破壊現象におけるベキ分布を説明する可解な確率モデルについて
アブストラクト：ベキ分布は様々な物理現象・社会現象等で観察されている。本講演では破壊現象でみられる破片サイズのベキ分布を取り上げ、比較的シンプルな確率モデルを用いた説明を試みる。このモデルでは破片サイズ分布を求めることができ、それがベキ的な分布となることをみる。モデルがベキ分布を生む直感的な議論や関連諸分野の話題にも触れる。

タイトル： Weyl Transforms and Solutions to Schrodinger Equations for Time-Dependent　Hermite Operators
アブストラクト：放射状のシンボル関数を持つWeyl変換の固有値問題は、Hermite関数を用いることで解くことができる。また時間に依存する係数を持つHermite作用素の熱方程式の初期値問題の一般解、および熱核は、Weyl変換を用いることで得られることがすでに示されている。そこで同様の方法を用いることで、時間に依存する係数を持つHermite作用素のSchrodinger方程式の初期値問題の一般解、およびSchrodinger核を得られたことを報告する。

タイトル：大型ヘリカル装置の磁場分布逆解析結果に対する最外殻磁気面の数値的同定 (Numerical Identification of the Last Closed Magnetic Surface for the Reconstructed Magnetic Field in the Large Helical Device)
アブストラクト：３次元コーシー条件面法により，大型ヘリカル装置の磁場分布が外部磁気センサー信号から逆解析される．逆解析磁場に基づく磁力線追跡で得たポアンカレ・プロット（PP）は鋭利な最外殻磁気面（LCMS）を描かない．そこで，動径基底関数展開によりPPを擬似的な磁気面関数の等高線分布に加工した．各等高線に対応するPPにつき，等高線の内側と外側でのばらつきの比をとる．この比が顕著に変化する等高線はLCMSの正解とよく一致した．

タイトル：実二次体の類数の非可除性について
アブストラクト：円分$\mathbb{Z}_p$拡大体の岩澤$\lambda$不変量についてGreenberg予想が知られていて、総実代数体ではすべての素数$p$に対して$\lambda _p =0$となることが予想されている。Greenberg予想へのアプローチの一つとして、代数体の類数の非可除性を考える問題がある。この問題に関連して、与えられた奇素数$p > 3$に対して、類数が$p$で割れない実二次体のある無限族の存在について得られた結果を報告する。

タイトル：ひねりコーシー条件面法を用いた非軸対称核融合プラズマの境界形状逆解析　 (Use of twisted Cauchy-condition surface to reconstruct the boundary shape of a nonaxisymmetric nuclear fusion plasma)
アブストラクト：大型ヘリカル装置のプラズマ境界形状を外部磁気センサー信号から同定する目的で，コーシー条件面(CCS)法により3次元磁場分布を逆解析するコードを開発中である．センサー信号とCCS表面との距離を常に適切にするように，今回，真空容器断面形状のトロイダル方向の変化に追従させた「ひねりCCS」を採用した．これにより，従来の円形断面CCSに比べて磁場分布およびプラズマ境界形状の再現精度を改善させることができた．

タイトル： $E_6$, $E_8$ 型部分因子環の平面代数と3 次元多様体の状態和不変量の組み合わせ的構成について
アブストラクト： planar algebra は結び目や3次元多様体の部分因子環に由来した不変量を, 部分因子環の理論を経由せずに与えてくれる道具として注目されている.今回の発表では $E_6$, $E_8$型部分因子環の存在証明をplanar algebra の知識のみを用いて与え, さらに $E_6$, $E_8$型状態和不変量を組み合わせ的に再定義する.また, 一部のレンズ空間について不変量の計算例を与える.

タイトル：大域結合振動子系における遷移現象
アブストラクト：蛍の光の周期が集団で一致していくという現象がある。これは蛍同士が同調し光るタイミングが揃っていくためである。この例にあげられるような、多数の振動子が相互作用する大自由度系において、その集団運動が示す挙動を蔵元モデルを用いて解析する。ある結合関数での解析では、時間発展とともに振動子の集団化と分裂が交互に見られた。本研究ではこの結合関数でのオーダーパラメーターによる解析と、別の結合関数を用いた場合の解析を行う。

タイトル： Two metrics on Teichmuller spaces
アブストラクト： Teichmuller空間には一般にTeichmuller距離による位相が入る。本研究ではそれのほかにlength spectrum距離を考え、無限次元Techmuller空間上で２つの距離が同じ位相を定めるための条件、異なる位相を定めるための条件等を紹介する。

タイトル：対称群及び交代群における方程式の解の個数
アブストラクト： m を素数 p の u 乗べきとして、n 次対称群及び n 次交代群における単位元のm-乗根の個数を割り切る p のべき数について考察し、いくつかの結果を得た。特に、n 次交代群におけるインボリューションの個数を割り切るべき数が、n 及び n に依らないある 2 進整数により定まるという D. Kim と J. S. Kim による予想を肯定的に解決した。また、n 次対称群及び n 次交代群における単位元の 4 乗根の個数を割り切る 2 のべき数を n の関数として表した。

タイトル： Finite type invariants for cyclic equivalence classes of nanophrases
アブストラクト： Turaevは三次元球面内の結び目や平面曲線などの拡張として語の理論を導入した．語の理論において，ナノワード及びナノフレーズとは，Gauss語にあるデータを付け加えたものとして定義されている．曲面上の曲線の安定同相類に対する有限型不変量をナノワード及びナノフレーズの巡回同値類に拡張し、さらにこの同値類に対する普遍な有限型不変量を構成する．

タイトル：対称群及び交代群による環積における方程式の解の個数
アブストラクト：位数 p の巡回群の n 次対称群による環積における位数 p の元の個数を割り切る p のべき数が、n-[n/p]、[ ]はガウス記号、であることを示した。この結果はp=2 の場合に示された T.Yoshida の結果の一般化である。また、位数 2 の巡回群のｎ次交代群による環積におけるインボリューションの個数を割り切る2のべき数を決定した。さらに、位数 p の巡回群のｎ次対称群による環積における位数が p のべき乗である元の個数を割り切る p のべき数についても考察をした。

タイトル：ある２自由度ハミルトン系双曲×双曲型固定点における、化学反応と標準形 Reaction Dynamics and Normal Form of a 2 DoF Hamiltonian System associated with a saddle-saddle stability type fixed point
アブストラクト：ハミルトン力学系での化学反応は、軌道の配位空間上の起源、行き先が反応物と生成物のどちらにあるかで定まる。この起源、行き先が反応物と生成物のどちらでもない軌道の集合はそれぞれ軌道の過去、未来を分かつ多様体となる。本研究では、双曲×楕円×楕円…型サドルで標準形を用いて抽出可能とされたこの多様体が、２自由度系の双曲×双曲型サドルでも存在し、任意に小さい摂動係数でも標準形を用いて抽出できない例と理由示す。

タイトル：生体分子の分子動力学に対する時系列解析ー集団運動の揺らぎと構造変化の関係を探るー
アブストラクト：生体分子などの多自由度な時系列データ解析において、その膨大なデータの中からいかにして必要な情報を読み取るかは重要な問題の一つである。本研究ではタンパク質の分子動力学データに対し、Wavelet変換による運動変化の解析と特異値分解を用いた情報の縮約を行った。これによりタンパク質の集団的な運動を取り出すことができる。機能発現に重要な役割を果たす構造と集団運動の関係を探りながら、新たな解析手法の確立を目指す。

タイトル：連続測定を受ける量子系の状態の時間発展について
アブストラクト：量子系において, 観測を連続的に行うと系の状態が初期状態のまま凍結してしまう場合がある.今回はこの効果－量子ゼノン効果－の数学的側面について紹介する. まず, 量子ゼノン効果の厳密な生起条件を提示し, 量子ゼノン効果が起らない場合についても例を挙げる. 次に, 量子ゼノン効果が起る場合の時間分割の個数に関する漸近挙動について述べる. 最後に, 連続的な観測によって, 状態ベクトルを状態空間上の曲線に乗せて移動させることが出来ることをみる.

タイトル：デザインとexcess theorem
アブストラクト：代数的組合せ論で主な研究対象としてアソシエーションスキームやデザインがある．今回の講演では，excessを用いたデザインとアソシエーションスキームの関係を与える条件について話したいと思う．

タイトル：臨界冪と劣臨界冪の非線形項を持つシュレディンガー方程式における小さな初期値に対する解の爆発
アブストラクト：今回の結果は若杉勇太氏(阪大)との共同研究に基づく内容である。絶対値p乗(1<p≦1+2/n)の非線形項を持つシュレディンガー方程式(NLS)に対する時間大域解の存在を考える。このNLSに対して時間局所L^{2}解の存在は良く知られている。しかし、この種の非線形項はゲージ不変性を持たないので解のL^{2}保存が不明であることや、その上振動効果が消えるため大域的性質の抽出が困難であり結果がなかった。(n,p)=(2,2)の場合は通常の波動作用素の非存在が知られている。今回非線形熱方程式等の解の爆発の研究で良く用いられるZhang氏によるテスト関数の方法とゲージ不変性のある非線形シュレディンガー方程式に対するH^{2}理論とを組み合わせることにより次を示した。1<p≦1+2/nの場合、初期値が小さくても形状を選べばその局所L^{2}解は大域的には延長できず解の最大存在時間でそのL^{2}ノルムが爆発する。講演では背景を中心に，何故そのような問題に興味があるのかを説明したい。

タイトル：力学系におけるHamiltonianについてのrecursion operatorの構成
アブストラクト： G.Vilasiらにより、主に物理的な観点から可積分系の新しい特徴付けがなされている。これは多様体の余接ベクトル束上においての力学系におけるHamiltonianについてrecursion operator Tを構成することである。このTとは対角化可能な(1,1)型テンソル場であり、このトレースを取ることで関数的に独立な保存量が導かれる。本研究では、G.Vilasiの著書におけるKepler dynamicsの場合を例として、幾何学的な観点から他の具体的な力学系におけるrecursion operater Tを構成していく。

タイトル： Some remarks on superspecial curves of low genus
アブストラクト：１つのパラメータをもつルジャンドル方程式によって定義された楕円曲線は，もしパラメータがドイリング多項式の根ならば，superspecial になります．これは 1941 年に Max Deuring によって与えられた判定法です．この講演では，１つのパラメータをもつ低種数の曲線が superspecial かどうか否かの判定法を与えます．この判定法は Deuring による判定法の一般化です．すなわち，もしパラメータがある多項式の根ならば，曲線は superspecial になります．

タイトル： ANALYSIS OF THE FICTITIOUS DOMAIN METHOD WITH H¹-PENALTY FOR PARABOLIC PROBLEM
アブストラクト：仮想領域法の原理は、対象の領域を含む単純な形状の領域（仮想領域）で偏微分方程式の問題を解くことである。 そして、仮想領域はもとの境界と独立な一様メッシュによって分割する。そのため、境界に適合するメッシュを構築する手間を省くことができる。仮想領域法の中に、ペナルティーパラメータを使用して問題を再定式化する$H^1$処罰法がある。 本講演では、放物型偏微分方程式に適用した$H^1$処罰法問題に対する有限要素法の誤差解析の新しい手法を紹介する。

タイトル：摂動管状領域におけるNavier-Stokes方程式の時間周期問題
アブストラクト：本講演においては、摂動管状領域において遠方で時間周期のPoiseuille流に収束するNavier-Stokes方程式の時間周期問題について扱う。この問題は既にH.Beirao da Veiga(2005)によって一定の結果が得られている。しかし、その解決方法は領域そのものに依存する結果である。しかし、時間周期解を得る為の条件は管の断面のみに依存するということが最近の研究によって得られた。その結果を紹介する。

タイトル：重みつきグラスマンの（有理係数）T-同変コホモロジーについて
アブストラクト：重みつきグラスマンは、ある重みつき射影空間におけるプリュッカー関係式で定義され、自然なトーラス作用を持つ。この作用に関する（有理係数）同変コホモロジーは、GKMグラフから定義される組み合わせ論的な基底をもつ。この基底に関する構造定数を計算するための帰納的な公式が得られたので、その概要を説明する。

タイトル：相対反標準束がネフになる射影空間束の構造について
アブストラクト：代数多様体の間の代数的ファイバー空間を調べる上で、相対反標準束の構造を調べることは重要である。JÁNOS KOLLÁR、宮岡洋一、森重文の３氏は非特異射影多様体間の代数的ファイバー空間に対して、その相対反標準束は決して豊富にならないことを示し、その応用として非特異射によるファノ多様体の像もまたファノ多様体になることを示した。本講演では、相対反標準束がネフになる射影空間束の構造を調べ、半安定ベクトル束に対するボゴモロフの不等式を用いた特徴付けを与える。

タイトル： Kolmogorov 流の共変Lyapunov 解析
アブストラクト： 2次元トーラス上で非圧縮性のNavier-Stokes方程式に従う流れ(Kolmogorov流)の双曲性を数値的に調べ，流れの物理的性質との関係を吟味した．乱流化過程において，Kolmogorov流の双曲性はReynolds数の増大と共に失われ，あるReynolds数で非双曲的となる．この非双曲化転移に伴う流れの物理的性質の変化は，流れ場の長時間の統計性に現れると期待される．ここでは流れの物理的性質として渦度の時間相関に着目し，Reynolds数の増大に伴う渦度の時間相関関数の変化を調べた結果をご紹介する．

タイトル：変数係数の摩擦項を持つ半線形波動方程式の大域解の存在について
アブストラクト：時間と空間両方の変数に依存する係数の摩擦項を持つ波動方程式に対し，藤田型の臨界指数問題を考える．係数は時間-空間遠方で1次のオーダーよりも緩やかに減衰するものとする．この場合の臨界指数は，空間次元をn，係数の空間方向の減衰率をaとして，1+2/(n-a)となることが予想されているが，現在のところ未解決である．今回，優臨界の場合について大域解の存在の結果が得られたので報告する．

タイトル：指数調和写像を用いた調和写像の存在定理
アブストラクト：指数調和写像とは、指数函数的増大度を持つある汎函数の臨界点として定義されるRiemann多様体の間の写像のことです。指数調和写像は、調和写像とは異なり、与えられた写像のホモトピー類の中に、滑らかな写像として常に存在することが知られています。この事実に着目して、本講演では、古典的に知られた調和写像の存在定理の、指数調和写像を用いた新しいアプローチについてお話ししたいと思います。また、可能ならば、指数調和写像流による調和写像の近似につても紹介したいと思います。

タイトル： $\deg X \geq \codim X + 1$となる射影多様体について
アブストラクト：非退化な射影的集合は、deg ≧codim + 1 という関係を持つことが以前から知られていた。その中で、Minimal Degree(deg = codim + 1)の場合はD.Eisenbud,J.Harrisらによって分類され、Almost Minimal Degree(deg = codim + 2)の場合は、L.T.Hoa et.alらによって分類された。今回、これらの結果を紹介し、deg = codim +3の場合がどのようになるか検討し、紹介する。

タイトル： Absence of Ground States of Generalized Spin Boson Model
アブストラクト：あるヒルベルト空間上の下に有界な自己共役作用素としてあらわされるハミルトニアンを考える。場の理論では安定性等の観点からハミルトニアンの基底状態が存在するか、つまりスペクトルの下限が固有値となっているかが問題となる。そこで、GSBモデルに於いて、いつ基底状態が存在するかについて解説する。

タイトル：ある準線形双曲型方程式の解の爆発について
アブストラクト：第二音波の方程式と呼ばれる超流体中の温度波を記述する方程式を扱う.空間一次元第二音波の方程式の解の爆発を考える.この方程式は伝播速度が未知関数の二乗となる双曲型方程式であるため,未知関数が真に正と仮定することで,強圧的な双曲型見なすことができる.初期値問題の標準的な可解性定理を考慮すると,2種類の爆発現象が存在する.本講演ではこの2つの現象が起こる十分条件を与える.

タイトル： Normality of complex contact manifolds
アブストラクト：複素接触多様体とは、奇数次元多様体とその各開被覆上で定義された、ある正則１次微分形式たちのことをいう。これを実（4n+2）次元の多様体とみなしたときに、この多様体には複素概接触構造が入ることが知られている。本講演では複素概接触構造に正規性が備わったものについて扱う。特にその正規性の幾何的な意味や議論を、私の結果と合わせて発表したい。

タイトル：１変数star積の適用
アブストラクト： star積は古典力学を変形することによって量子力学への移行を連続的にとらえようとする試みの一つである。Star積研究は1970年代に始まり、シンプレクティック多様体上やポアソン多様体上で議論されてきた。２ｎ変数で定義されたstar積は、１変数star積としても矛盾なく定義できることが明らかになり、大森先生はJacobiのtheta関数へ適用した。本研究はその続きとなっている。

タイトル：非線形波動方程式の一般論に対する最適性の最終問題
アブストラクト：本講演の内容は高村博之先生（公立はこだて未来大学・複雑系知能）との共同研究に基づく。講演では、非線形波動方程式の初期値問題に対する一般論（小さい非ゼロ任意初期値に対する時間局所解の最大存在時間評価）の中で、唯一最適性が証明されていなかった空間４次元で２次の方程式に対する最適爆発定理が得られたことを報告する。

タイトル：不動点問題と均衡問題への近似法 Methods for Approximation of Fixed Point Problems and Equilibrium Problems
アブストラクト：均衡問題などの非線形問題は何らかの非線形写像の不動点を求める問題として捉えられる。均衡問題の解集合はある非線形写像の不動点集合と一致することから、不動点近似法を用いて均衡問題の解を得る方法が研究されている。本講演では均衡問題に関する写像と性質を紹介して、不動点問題と均衡問題の共通解への近似について議論する。特にBanach 空間上の均衡問題に対する不動点近似法を扱う。

タイトル：有限グラフの第l固有値
アブストラクト：有限グラフの固有値とは, そのグラフの隣接行列を用いて定義できる離散離散ラプラシアンの固有値のことである. 本講演では, l-1個の有限グラフの第2固有値の下からの評価と, そのグラフをいくつかの辺で結び連結にしたグラフの第l固有値の下からの評価の関係を与えたい.

タイトル： Discrete Time Quantum Walks and Integrability
アブストラクト：離散時間量子ウォークは、ランダムウォークをモチーフにして量子力学の中で定義されたものである。その性質はランダムウォークとはまったく異なり、弱収束定理が様々な場合において証明されている。今回、我々はどのような離散時間量子ウォークが解け、どのようなものが解けないかの分類指針を会えたので発表する。

第8回数学総合若手研究集会
〜数学を中心とした広範な知識の交流〜

The 8th Mathematics Conference for Young Researchers

Contents

アブストラクト

第8回数学総合若手研究集会〜数学を中心とした広範な知識の交流〜

The 8th Mathematics Conference for Young Researchers

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第8回数学総合若手研究集会
〜数学を中心とした広範な知識の交流〜