MFG テキストガイダンス
【幾何00】
- 位相空間(神保秀一,本多尚文著), 数学書房
- 集数学においては, 様々な分野においてその目的に併せて集合に構造や演算を定義し, その働きを調べたり応用したりする. 幾何学においては多様体, 解析学においては関数空間などが議論の舞台となる. 多くの数学分野において, このように収束や連続性などの議論可能となるような集合が現れる. これが位相空間というもの一般的に考えられ, それを舞台として一般論が展開される理由である. 本書においては集合に位相構造を導入して, 様々な性質やそれらの相互の関係を明らかにする. 特に距離空間を扱い, 応用上重要な定理を確立する.
- 第 1 章 :
- 集合, 論理, 写像 --- 集合算, 写像, 論理, 数列, 帰納法, 可算, 非可算, 選択公理
- 第 2 章 :
- 距離空間と位相 --- ユークリッド空間,距離,位相,開集合,閉集合,連続写像,点列コンパクト
最大値最小値の定理, 完備性, 不動点定理, アスコリ-アルツェラの定理
- 第 3 章 :
- 同値関係,順序関係 --- 同値関係, 順序関係の定義, 濃度,ベルンシュタインの定理,最大元,
最小元, 極大元, 極小元, 整列集合, 超限帰納法, 選択公理, Zornの補題
- 第 4 章 :
- 一般の位相空間 --- 開集合系, 分離公理, 連結性, 積空間, 商空間, コンパクト, 連続写像,最大値最小値の定理, 関数空間
- 第 5 章 :
- 応用 --- 可逆行列の摂動, 積分方程式, ブラウワー不動点定理,数列空間における変分問題, コンパクト集合族のなす距離空間
