ここで定義した関数 Chains の説明

例として，trefoil の"ステート３"（="011"；プリント参照）を考え，次のリスト

（{\bf 各交点において}どの辺同士が繋ぎあわされるかを表しているリスト）を考えます． こうしたリストを入力として，関数 Chains が出力するものは，

です．つまり，この出力リストは， ステート３を構成する輪っか達がどの辺達からなるかを表しています． ステート３は２つの連結成分からなり，それらは，{1,2,4,5} という辺達が連なってできる輪っかと {3,6} という辺が連なってできる輪っかです．

このような出力をさせる関数はどうやって作りましょう？ C 言語等で手慣れている（であろう）For ループを使ってみましょう． この関数 Chains は，C 言語などでもすぐに書き移せるように３重の For ループで書いてみました （もうちょっと良くはできますが，それなりに能率的なプログラムです）．

まず Chains の「最初の For ループ」を 上の b1 に作用させたケースで見てみます． b1[[1]]={1,5} と共通部分を持つものを２番目の要素から順にチェックしていき，共通部分があれば，その要素を {1,5} に繋げていきます---繋げるには Mathematica の標準的な組み込み関数 AppendTo を使います（step1）：

Length[Intersection[b1[[i]],b1[[j]]] > 0 とは，b1[[i]]（今の場合，i=1 と代入していますから，b1[[i]]=b1[[1]]={1,5} です）と b1[[j]] に共通の番号があるということです．もしそうならば，リスト c に b1[[i]] および b1[[j]] の和集合を作り，それを新たにリスト c と置きます． {1.5} に６番目の要素 {1,4} が繋がったものが出力されました．b1 の２番目以降，仮に共通部分をもつ要素がなかったとすると d として {1,5} が出力されます． つぎにb1[[2]]={2,4} と同じ要素を含むものを b1 の３番目 b1[[3]] ={2,5} から順にチェックして {2,4} に繋げ，出てきた結果と step1 の出力を合わせたリストを出します（step2）・・・ この操作を順次合計 6 回行うのにもうひとつ For ループを用意して， ２重ループを作ります：

ここで，d は６回の step 各々の出力を合わせたリストであって， つぎの Union[Sort[d]] は重複を除外したものです． b2 の要素の数はかならず b1 \ の要素の数よりも小さくなることに注意しましょう（＊）． 次に，b1 の代わりにこの最後のリスト b2 に対して，上の２重ループを施すと，

{3,6} と {1,2,4,5} には共通の要素がありませんから， これが求めようとしていたリストに他なりません． 最後の b1 から b2 を作り，さらに b3 を作り，という操作は， 一般にはまだまだ続くので，この部分もループで書く書いてみましょう． 注意＊より，bi から bi++ を作る操作は多くとも最初の入力リスト b1 の 要素の数以上にならないことが分かるので，このループは For 文で 書くことができます（もしくは While 文を用いる）． 以上が関数 Chains です．

同じ働きをするが別の書き方ももちろんできるでしょう． 以下はそのひとつです．構造自体は随分とシンプル（ループはひとつだけ）になっています． しかし，重複した計算も含めてしまっているので総計算回数は数倍増えて，使うにはちょっと遅いです．

chain1[bb_] :=
Block[{n = Length[bb]}, Map[Union[Flatten[#, 1]] &,
Table[Switch[Length[Intersection[bb[[i]], bb[[j]]]], 0, {}, _,
Union[bb[[i]], bb[[j]]]], {i, n}, {j, n}]]];
Chains[bb_] := Module[{b}, b = bb; While[b =!= chain1[b], b = chain1[b]]; Union[b]];