- 不定積分、定積分
- 不定積分:
integrate(x^4,x);
- 定積分:
integrate(x^4*sin(n*x),x,0,1);
- 極限値
-
$\lim_{n\to\infty}1/n$:
limit(1/n,n,inf);
-
2変数関数について、方向を決めた極限値:
$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$について$x=r\cos t$, $y=r\sin t$と置き,
$\displaystyle\lim_{r\to 0}f(r\cos t,r\sin t)$を求める。$f(x,y)$は原点で連続かどうか考えよ。
limit(f(r*cos(t),r*sin(t)),r,0);
- 場合分けのある関数の導関数を求める時に注意すべき例：
\[
f(x)=\begin{cases}(\exp(-x^2)-1)/x & x\ne 0\\ 0 & x=0\end{cases}
\]
と定める関数(原点でも連続)の導関数は
定義から$f'(0)=\lim_{x\to 0}(f(x)-f(0))/x$を求め、$x\ne 0$では普通に$x$で微分す
る。
-
仮定が必要な場合 $\lim_{n\to\infty}x^n$:
assume(abs(x)<1);
limit(x^n,n,inf);
-
右極限, 左極限:
limit(1/x,x,0,plus);
limit(1/x,x,0,minus);
- 無限級数
-
s:sum(x^n,n,0,inf);
assume(abs(x)<1);
load(simplify_sum);
simplify_sum(s);
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- 広義積分
- 不定積分がわかる広義積分:
integrate(exp(-x)*sin(x),x,0,inf);