$[0,1]$ 上の力学系 $Tx=4x(1-x)$について、 $$\mu([a,b]):=\int_a^b\frac{dx}{\pi\sqrt{x(1-x)}}$$で定める$[0,1]$上のBorel確率測度は不変測度になることを示せ。
ヒント:$0\le a\le b\le 1/2$として、 $\mu(T^{-1}[a,b])=\mu([a_1,b_1])+\mu([a_2,b_2])=\mu([a,b])$を示す。ただし、$Ta_1=Ta_2=a$, $Tb_1=Tb_2=b$とする。 $$\int_{a_1}^{b_1}\frac{dx}{\pi\sqrt{x(1-x)}}=\mu([a,b])/2$$ をいえればよい。$x=Ty$と置換して積分値が変わらないことを見る。