次の関数$f(x,y)$を極座標に変換せよ。また、$\frac{\partial f}{\partial r}$と$\frac{\partial f}{\partial \theta}$を授業で使った $g_r$,$g_\theta$とし、それぞれを求めよ。具体的に書ける関数だから普通に偏微分すればよい。

1. $f(x,y)=x^2+3xy+y^2$について $f(r\cos\theta,r\sin\theta)=r^2+3r^2\cos\theta\sin\theta$より $f_r=2r(1+3\cos\theta\sin\theta)$, $f_\theta=3r^2\cos(2\theta)$.
2. $f(x,y)=\frac{x+y}{x^2+y^2}$, $(x,y)\ne (0,0)$について、 $f(r\cos\theta,r\sin\theta)=(\cos\theta+\sin\theta)/r$より $f_r=-(\cos\theta+\sin\theta)/r^2$, $f_\theta=(-\sin\theta+\cos\theta)/r$.