- $\sin(x)$のマクローリン展開を利用して$\sin(x^2)$のマクローリン
展開を与える。$\sin(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^{2n+1}/(2n+1)!$だか
ら、$\sin(x^2)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^{2(2n+1)}/(2n+1)!$である。
- $f(x)=\tan (x)$, ($-\pi/2 \lt x\lt \pi/2$)について、
$f^{-1}(x)$の導関数を求める。まず、
$f'(x)=1/(\cos(x))^2=1+(\tan(x))^2=1+(f(x))^2$である。逆関数の定義から、$f(f^{-1}(x))=x$で
ある。合成関数の微分法を用いて両辺を微分すると（逆関数の微分法を直
接用いてもよい）$f'(f^{-1}(x))(f^{-1}(x))'=1$であり、
$(f^{-1}(x))'=1/f'(f^{-1}(x)$を得る。
$f'(f^{-1}(x))=1+(f(f^{-1}(x)))^2=1+x^2$であり、結局
$(f^{-1}(x))'=1/(1+x^2)$となる。
- $f(x)=e^x \sin(x)$のマクローリン展開を5次の項まで求める。
$(1+x+x^2/2+x^3/3!+x^4/4!+x^5/5!+\dots)(x-x^3/3!+x^5/5!-\dots)$に
ついて5次の項までとると、
$(x-x^3/3!+x^5/5!)+x(x-x^3/3!)+(x^2/2)(x-x^3/3!)$となる。これを整
理する。
$Sin^{-1}(x)$などを逆数と間違えないように三角関数を$\sin(x)$などと書く
ことにする。くれぐれも注意すること。