- 数列$a_n=\frac{1}{1-2^n}$ $(n=1,2,3,\dots)$が単調増加であること
を示す。$a_{n+1}-a_n=\frac{2^{n+1}-2^n}{(1-2^n)(1-2^{n+1})}\gt 0$よ
り$a_{n+1}\ge a_n$である。
- 漸化式で定まる数列$a_{n+1}=\sqrt{1+a_n}$, $a_0=1$が単調増加であ
ることを示す。$a_1=\sqrt{2}\gt 1=a_0$である。
$a_{n+1}^2-a_n^2=(1+a_n)-(1+a_{n-1})=a_n-a_{n-1}$であるから、帰納法
によって示される。
- $f(x)=\cos(1/x)$について、極限値$\lim_{x\to 0}f(x)$が存在しないこ
とを示す。$x$を$a_n=1/2n\pi$にとると、$x\to 0$は$n\to\infty$で、
$\cos(1/a_n)=\cos(2n\pi)=1$である。$x$を$a_n=1/(2n+1/2)\pi$にとる
と、同様に$\cos(1/a_n)=\cos((2n+1/2)\pi)=0$である。両者が一致しな
いので、$x=0$で連続にならない。