条件$x^2+y^2=1$のもとで$f(x,y)=xy$の極値の候補を求める。 $F(x,y,\lambda)=xy-\lambda(x^2+y^2-1)$とおいて、$F_x=y-2\lambda x$, $F_y=x-2\lambda y$である。

$F_x=0$ と $F_y=0$より、連立一次方程式 $-2\lambda x +y=0$, $x-2\lambda y=0$を得る。

唯一の解を持つ場合の解は $(x,y)=(0,0)$だが、これは条件を満たさず不適。

したがって、この連立一次 方程式は不定解を持たねばならず、$-2\lambda=1/2\lambda$ より $\lambda=\pm 1/2$である。このとき、$y=\pm x$となり、 条件から$(x,y)=(\pm 1/\sqrt{2},\pm 1/\sqrt{2})$ （複合任意）。