次の関数\(f(x,y)\)は極値を持つかどうか判定せよ。
- \(f(x,y)=x^2+3xy+y^2\) から、$f_x=2x+3y$, $f_y=2y+3x$であり、と
もに0となるのは$(x,y)=(0,0)$の場合。$f_{xx}=2$, $f_{yy}=2$,
$f_{xy}=3$だから、極小値をとる。
- $f(x,y)=x^3+y^3+2x^2+y^2$ から、$f_x=3x^2+4x$, $f_y=3y^2+2y$よ
り、$f_{xx}=6x+4$,
$f_{yy}=6y+2$, $f_{xy}=0$だから、それぞれ$x=y=0$を代入して確認する。
原点以外の極値についても考えておくとよい。
- $f(x,y)=x^3+y^3+2x^2+y^2+xy$についても、$f_{xx},f_{yy},f_{xy}$
を計算して確かめる。