関数$f(x)$のグラフと$x$軸が、区間$[a,b]$で囲む図形の面積を$S(b)$と置き ます。$b$を変化させて$S(b)$の変わり方を見るため、あらためて$b$を$x$と おくことにします。
$S(x)$を変数$x$で微分すると、$\displaystyle S'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{S(x+h)-S(x)}{h}$となります。分母の意味を考えると、区間$[x,x+h]$ で$f(x)$のグラフと$x$軸が囲む図形の面積です。
この面積を図形的に考えると、区間内の最大値$f_M$と最小値$f_m$を用いて $h f_m\le S(x+h)-S(x)\le h f_M$です。 両辺を$h$で割ると$ f_m\le (S(x+h)-S(x))/h\le f_M$です。 $h$を$0$に近づける極限を取れば、$f_m$も$f_M$も$f(x)$に近づきますから、 \[ S'(x)=f(x)\] といえます。原始関数を考えて$S(x)=F(x)+C$となります。 明らかに$S(a)=0$ですから、$C=F(a)$であり、$S(x)=F(x)-F(a)$です。もとの $b$を使って、$S(b)=F(b)-F(a)$と書き直しましょう。
$S(b)$を新しい記号を使い、$\int_a^bf(x)dx$と書き、$F(b)-F(a)$を $[F(x)]_a^b$と書くことにします。全体を合わせて次のようになります。 \[ \int_a^bf(x)dx=[F(x)]_a^b\]
面積の関係から、$\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx=\int_a^bf(x)dx$が成り立 ちます。これは、$c$が区間$[a,b]$の外側にあっても成立します。また、原始 関数は$f(x)$が正の値を取らなくても計算できますから、面積という概念を離 れても定積分の結果は計算できます。