関数$f(x)$のグラフが$x=c$で増加から減少に変わるとき、$f(x)$は$x=c$で極 大をとるといい、$f(c)$を極大値とよびます。また、$x=c$で減少から増加に 転じるとき、$f(x)$は$x=c$で極小をとるといい、$f(x)$を極小値とよびます。
$f(x)$の増加と減少は導関数の符号でわかります。$f'(x)$が正であれば $f(x)$は増加し、$f'(x)$が負であれば減少します。ですから、極大になるのは$x\lt c$で$f(x)\gt 0$、$x\gt c$で$f(x)\lt 0$であり、$f'(c)=0$であるときです。 極小になるのは$x\lt c$で$f(x)\lt 0$、$x\gt c$で$f(x)\gt 0$であり、$f'(c)=0$であるときです。
極大値と極小値を合わせて極値とよびます。$f(x)$が極値をとる$x$の値の 候補は、$f'(x)=0$を解いて得られます。しかし、$x=c$で$f'(c)=0$だからといって 極値をとるとは限りません。$f(x)=x^3$について、$x=0$は$f'(0)=0$を満た しますが$f'(x)$は$x=0$の前後で正ですから極大でも極小にもなりません。このような場合を停留点とよびます。
$x=c$で$f''(c)=0$とします。$f''(x)$が$x=c$の前後で符号を変える時に $x=c$は$f(x)$の変曲点とよびます。
関数のグラフ$y=f(x)$を描くときには、$x$の値が変化するにつれて $f(x)$の増加、減少、極値、変曲点に注意して描いていきます。関数のグ ラフを精密に描き、その性質を理解するには、これらの概念を把握するこ とが必要です。
$y=f(x)$上の二点$(a,f(a))$と$(b,f(b))$を通る直線の方程式は次のように なります。 \[y=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)\] ここで$b\to a$の極限をとると、次のようになります。 \[y=f'(a)(x-a)+f(a)\] この直線は$y=f(x)$のグラフと1点$(a,f(a))$だけを$x=a$の付近で共有して います。この直線を$y=f(x)$の$x=a$での接線とよびます。
$x=a$の付近での関数$f(x)$の変化の度合いを1次式で表すと接線の方程 式となります。応用上重要な概念です。