1. $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-1}$, $(x\ne 1)$の導関数を定義に従っ て求める。 $\displaystyle\frac{1}{x-1+h}-\frac{1}{x-1}=\frac{x-1-(x-1+h)}{(x-1+h)(x-1)}$ より、$\displaystyle -\frac{1}{(x-1)^2}$である。
2. $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$, $(x\ne 0)$の導関数を定義 に従って求める。 $\frac{1}{\sqrt{x+h}}-\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+h}}{\sqrt{x+h}\sqrt{x}}$ より、分子を有理化して $\frac{x-(x+h)}{\sqrt{x+h}\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})}$と変形する。 $-\frac{1}{2x\sqrt{x}}$である。
3. $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x(1-x)}$の導関数を部分分数展開を利用 して求める。$f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}$だから、$f'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(1-x)^2}$