次の関数の極限について、収束する場合は極限値を求め、発散する場合は正の
無限大に発散するか負の無限大に発散するかを答えよ。
- $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt{2}^n}$について、
$0<1/\sqrt{2}<1$だから極限値は$0$となる。
- $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sin(n \pi/4)$について、振動する。
- $\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{x^2-3x+2}{x-1}$ $\,\,\,(x\ne
1)$について、$x^2-3x+2=(x-2)(x-1)$より、極限値は1.
- $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^2-3x+1}{x-1}$ $\,\,\,(x\ne
1)$について、$x^2-3x+1=(x-2)(x-1)-1$と
$\frac{x^2-3x+1}{x-1}=\frac{(x-2)(x-1)-1}{x-1}$より発散する。
- $\displaystyle \lim_{x\to 1+}\frac{1}{x^2-1}$ $\,\,\,(x^2\ne 1)$
について、正の無限大に発散。
- $\displaystyle \lim_{x\to 1-}\frac{1}{x^2-1}$ $\,\,\,(x^2\ne 1)$
について、負の無限大に発散。
- $\displaystyle \lim_{x\to \infty}(\sqrt{x^2+10}-\sqrt{x^2})$につい
て、分子の有理化を用いれば極限値は0.