- $\sin(x^2)$のマクローリン展開を与える。$\sin x$のマクローリン展開に$x^2$を代入して、
\[\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(x^2)^{(2n+1)}}{(2n+1)!} \]
実際に$\sin(x^2)$の$n$階導関数から求めても一致する。
- $f(x)=\cos (x^2)$, ($0\le x\le \sqrt{\pi}$)について、
$f^{-1}(x)$の導関数を求める。$f^{-1}(x)=\sqrt{\cos^{-1}x}$だから、
$\sqrt{x}$と$\cos^{-1}x$の合成関数である。導関数は合成関数の微分法から
\[-\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{\cos^{-1}x}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]
となる。