- 数列$a_n=\frac{1}{1-2^n}$が単調増加であること。
$a_{n+1}-a_n\ge 0$を示せばよい。
$\frac{1}{1-2^{n+1}}-\frac{1}{1-2^n}=\frac{1-2^n-1+2^{n+1}}{(1-2^n)(1-2^{n+1})}=\frac{2^{n+1}-2^n}{(2^n-1)(2^{n+1}-1)}$。分母分子ともに正となるから、示された。
- $f(x)=\cos(1/x)$について、極限値$\lim_{x\to 0}f(x)$が存在しないこ
とを示す。$x$として$(2n\pi)^{-1}$をとれば$f(x)=1$,
$((2n+1)\pi)^{-1}$をとれば$f(x)=-1$で、どちらの数列も$0$に単調減少し
て収束するから題意の極限値は存在しない。