簡単な実験から観察するフラクタル

鏡に写すとは

鏡を二枚用意して、お互いを写すように置きます。一方の像は他方の鏡の「中に」写りこみますから、全体の大きさは小くなります。これを数学的に表現すると「縮小写像」という概念を使います。 言葉は高級ですが、要するに縮小コピーと変わりません。

縮小写像

点と点の対応を与える規則を写像と呼びます。\(F\)と書き、座標\((x,y)\)で表す点の\(F\)による対応先を \(F(x,y)\)と書くことにします。

定義：縮小写像とは、\(|r| \lt 1\)を満す定数が存在して、 平面上のどんな二点\((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\)をとっても \[|F(x_1,y_1)-F(x_2,y_2)| \le r | (x_1,y_1) - (x_2,y_2)|\] を満たす写像\(F\)のことである。

簡単な縮小写像

相似形の図形に変える対応なら相似変換と呼びます。この とき縮小率は全ての点の組について一定で, \(|F(x)-F(y)|= c|x-y|\)となります。 全体を半分に縮める縮小写像は次のようになります。 \[F(x,y)=\left(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}\right)\]

回転と平行移動

回転や平行移動は相似変換の一種です。回転は次のように表せ、 \[F(x,y)=\left( r \cos\theta x - r \sin\theta y, r \sin\theta x + r \cos\theta y \right)\] 単純に縮めたうえで平行移動すると次のように書けます。 \[F(x,y)=\left(\frac{x}{2}, \frac{y+1}{2}\right)\]

縮小写像の不動点定理

重要な定理を示します。縮小写像を何回も繰り返すと元の図形はどんな図形でも必ず一つの点に縮んでいきます。

定理: \(F(x,y)\)を縮小写像とするとき、\(F(x,y)=(x,y)\)を満す点\((x,y)\)がただ一点だけ存在する。

この様子を観察しましょう。 資料の縮小コピーを繰り返すと図のようになります。

定理の説明： 二つの点\((x_1, y_1)\)と\((x_2,y_2)\)をとり、\(F\)\を繰り返し作用して距離の変化を観察します。 \(F^n\)について次のように変形でき、 \[ |F^n(x_1,y_1)-F^n(x_2, y_2)| \le r |F^{n-1}(x_1,y_1)- F^{n-1}(x_2, y_2) | \] 繰り返し変形すると次を得ます。 \[ |F^n(x_1,y_1)-F^n(x_2, y_2)| \le r^n |(x_1,y_1)- (x_2, y_2) | \] \(n\)を大きくするごとに\(r^n\)は０に収束していきますので、どんな二点をもってきても\(F\)を繰り返し作用することで二点間の距離が小さくなっていき、 最後には同じ点に収束します。 \[ \lim_{n\to\infty} F^n (x,y)=(x_0, y_0)\] この収束先が不動点に一致します。

様々な縮小写像の様子を見ておきましょう。

複数の縮小写像

縮小写像一つだけを作ると、写像を繰り返し作用することで縮小写像の不動点定理から一点に収束することがわかりますが、 複数の縮小写像を組合せることで複雑な図形を作ることができます。これを反復関数系と呼びます。各々の縮小写像に番号をつけ て、\(F_1\), \(F_2\), \(F_3\)などと呼び、反復関数系を次のように書くことにします。

反復関数系の例

次の写像はそれぞれ縮小写像となっています。 \[F_1(x,y)=\left(\frac{x}{2},\frac{y}{2}\right)\] \[F_2(x,y)=\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2},\frac{y}{2}\right)\] \[F_3(x,y)=\left(\frac{x}{2},\frac{y}{2}+\frac{1}{2}\right)\]

簡単に確認しておくと、 まず、次が成立。 \[F(x_1,y_1)-F(x_2,y_2)=\left(\frac{x_1}{2},\frac{y_1}{2}\right)-\left(\frac{x_2}{2},\frac{y_1}{2}\right)=\left(\frac{x_1-x_2}{2},\frac{y_1-y_2}{2}\right)\] 定義に当てはめて、次のように変形できるから、縮小写像。 \[|F(x_1,y_1)-F(x_2,y_2)|=\left|\left(\frac{x_1-x_2}{2},\frac{y_1-y_2}{2}\right)\right|=\left|\frac{1}{2}(x_1-x_2, y_1-y_2)\right|=\frac{1}{2}|(x_1-x_2, y_1-y_2)|=\frac{1}{2}|(x_1, y_1)-(x_2,y_2)|\]

ランダムな反復

このように、縮小写像の組を適用してフラクタル集合を作っていくと計算時間が長くなります。写像の数を\(N\)として、\(n\)ステップ目のフラクタル集合を作るには\(N^n\)の計算量が必要だからです。

定理：\(F_1,...,F_N\)を縮小写像の組とする。開始点\((x,y)\)を一つ定める。ランダムに1からNまでの値をとる数列を\(p_1,p_2,p_3,...\)とおけば、漸化式で定まる点の列 \[(x_{n+1},y_{n+1})=F_{p_n}(x_n,y_n)\] によって定まる点の全体が反復関数系\(F_1,...,F_N\)によって定まるフラクタル集合に収束する。

周の長さ

1. 一辺の長さ１の正三角形から出発して三個の縮小写像を作用する。ステップ０での 周の長さは、一辺の長さが1/2の正三角形が３個現れる。 \[3 \times \frac{3}{2} \]
2. ステップ１での 周の長さは、一辺の長さが1/4の正三角形が９個現れる。\[3 \times \frac{3^2}{2^2} \]
3. ステップ２での 周の長さは、一辺の長さが1/8の正三角形が２７個現れる。\[3 \times \frac{3^3}{2^3} \]
4. 一般に、ステップnでの 周の長さは、\[3 \times \frac{3^{n+1}}{2^{n+1}}=3\left(\frac{3}{2}\right)^{n+1} \]

面積

1. 面積１の正三角形から出発して三個の縮小写像を作用する。ステップ０での 面積は、面積1/4の正三角形が３個現れるから。\[ \frac{3}{4} \]
2. ステップ１での 面積は、面積が1/16の正三角形が９個現れる。\[ \frac{3^2}{4^2} \]
3. ステップ２での 面積は、面積が1/64の正三角形が２７個現れる。\[ \frac{3^3}{4^3} \]
4. 一般に、ステップnでの 面積は、次のようになる。\[\frac{3^{n+1}}{4^{n+1}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{n+1} \]