コイン投げから始めよう

ランダムネスと対称性をめぐって

洞 彰人 (Akihito HORA)

2008年11月1日

名古屋大学大学院多元数理科学研究科

START ↱

話の目標

ランダムな現象の解析に向けて確率論の論理構造スケーリング極限による普遍法則の導出対称性の役割

なるべく具体的な計算を織り交ぜながら

話の構成

自己紹介確率論とは？ 発展の道筋コイン投げモデル（有限または無限試行）確率論の公理的構成確率変数, 確率分布などの術語スケーリング極限にまつわる定理コイン投げモデルの一般化, 代数的なアプローチ対称性と群可換群の作用と中心極限定理自由群の作用と中心極限定理

確率論とは ⋯

論理に基づく科学（数学)

確率論の論理構造

(1) 単純な事象に対して, 合理的に確率の割り当てを仮定 (2) 複雑な事象に対して, 確立した規則に基づいてその確率を(1)から計算

実験, 観察, 経験により理論（仮定）の検証

理論現象確率論統計学

確率論の発展1

PascalとFermat (17世紀) Laplace (1812) : 確率論の本 Gauss (19世紀前半) : 誤差法則, 正規分布 (ドイツの旧10マルク紙幣) Brown (19世紀前半) : 微粒子の不規則運動 Einstein, Bachelier (1900頃) : Brown運動 Wiener (1923) : 確率過程としてのBrown運動 Kolmogorov (1933) : 確率論の公理的展開 (数学の分野として確立) 伊藤清 (1942) : 確率過程の微分積分, 確率微分方程式

⟲⊞ 4(↱)

確率論の発展2

確率論の方法と概念は数学全般に深く浸透（代数, 幾何, 解析）複雑かつ大規模な系を扱う際に有用

ちなみに⋯ Fieldsメダル(1936 – ) 2006 : Okounkov, Perelman, Tao, Werner Abel賞(2003 – ) 2007 : Varadhan Gauss賞(2006 – ) 2006 : 伊藤清

コイン投げのモデル

⋆ 裏表偏りのないコインを何度も投げると, 表が出る回数の割合も裏が出る回数の割合もだいたい1/2...

偏りのないコインなんて作れる?

永遠に投げ続けることなんかできない? だいたい1/2とはどういうことか?

⋆ 平均からのずれはおよそ正規分布にしたがう

コイン投げのモデル（有限試行） 1

1回あたり表(H)または裏(T) n回投げれば出方の可能性全体は Ω = {(ω_{1}, ω_{2}, ⋯, ω_{n})|ω_{j} ∈ {H,T }(j = 1, 2, …, n)}

Ωの各元(要素,点)ω に割り当てられる確率P ({ω})は? ⟶ それがモデルの個性 1回あたりの表の確率がpであると仮定 (0 < p < 1) 各回の試行が独立であるようにしたい

コイン投げのモデル（有限試行） 2

そうすると

P ({ω}) = p^{♯(i:ω_{i}=H)} (1 − p)^{♯(i:ω_{i}=T)}

例 P ({(H, H, T )}) = P ({(H, T, H )})

= P ({(T, H, H )}) = p^{2}(1 − p)

P ({(H, H, H ), (H, T, T )})

= P ({(H, H, H )}) + P ({(H, T, T )})

確率論の公理的構成1

Kolmogorovによる公理 Ω : 出現する可能性のある結果全体の集合(標本空間) Ωの部分集合(事象)Aに確率P (A)が割り当てられる

• P (A) ∈ [0, 1]

• P (Ω) = 1  (∗)
• P (A) + P (A^{c}) = 1

さらに, 可算個の事象の列 A_{1}, A_{2}, ⋯ ⊂ Ω が互いに共通部分をもたないとき

•P ( ⋃_{n=1}^{∞} A_{n}) = ∑_{n=1}^{∞} P (A_{n})

確率論の公理的構成2

⋆ Ωが高々可算集合 {a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{m}, ⋯ } の場合は, Ω のすべての部分集合を事象と考え,

p_{1}, p_{2}, p_{3}, ⋯ ∈ [0, 1], p_{1} + p_{2} + p_{3} + ⋯ = 1 となるようなp_{j} をとって

P ({a_{j}}) = p_{j} (j = 1, 2, 3, …)

⋆ Ωがもっと大きい場合, すべての部分集合に確率を割り当てて(∗)の性質をみたすようには(一般には)できない.

例 Ω = [0, 1] × [0, 1] P ([a, b] × [c, d]) = (b − a)(d − c), P (A) = Aの面積

確率論の公理的構成3

Lebesgue可測でない(面積が測れない!!)集合の存在 ▶ 事象の族F に課す条件

• Ω ∈ F

• A ∈ F ならば A^{c} ∈ F

さらに, 可算個の事象の列 A_{1}, A_{2}, ⋯ ∈ F に対して

• ⋃_{n=1}^{∞} A_{n} ∈ F

▶ 構成したいモデルに適したこのような確率空間(Ω, F, P) が存在するかどうかは全く自明でない.

⟲⊞ 11(↱)

確率変数, 分布, 平均１

確率変数X とは, Ω上の関数であって, X の値が任意の範囲にある確率が測れるもの実確率変数 X : Ω ⟶ ℝ , {ω ∈ Ω|X(ω) ∈ [a, b]} ∈ F (事象族)

μ_{X}([a, b]) = P ({ω ∈ Ω|X(ω) ∈ [a, b]})
= P (X ∈ [a, b])

▶ μ_{X} が新たにℝ上の確率を定める(X の分布)

例２項分布 B(n, p)

μ(\{k\}) = \binom{n}{k}p^{k}(1 − p)^{n−k}, k ∈ \{1, 2, …, n\}

確率変数, 分布, 平均2

実確率変数X の平均(期待値)とは, Ω上の積分

E[X] = ∫_{Ω} X(ω)P (dω) = ∫_{ℝ} xμ_{X}(dx)

とくにX の値域が高々可算集合{x_{1}, x_{2}, ⋯ }ならば,

E[X] = ∑_{n=1}^{∞} x_{n}P (X = x_{n}).

X の平均 E[X] = M_{1} X の分散 V (X) = E[(X − E[X])^{2}] = M_{2} − M_{1}^{2} X のn次モーメント M_{n} = E[X^{n}]

確率変数, 分布, 平均3

X のモーメント(moment)母関数

E[e^{zX}] = ∑_{n=0}^{∞} \frac{M_{n}}{n!}z^{n},

X のキュムラント(cumulant)母関数

log E[e^{zX}] = ∑_{k=1}^{∞} \frac{C_{k}}{k!}z^{k}

C_{1} = M_{1} (平均), C_{2} = M_{2} − M_{1}^{2} (分散)

確率変数, 分布, 平均4

例 Poisson分布 Π(λ)

μ(\{n\}) = \frac{e^{−λ}λ^{n}}{n!}, n ∈ \{0, 1, 2, … \}

C_{1} = C_{2} = C_{3} = ⋯ = λ 例正規分布 N(m, v)

μ([a, b]) = ∫_{a}^{b} \frac{1}{√2πv} e^{−(x−m)^{2}/(2v)} dx

C_{1} = m, C_{2} = v, C_{3} = C_{4} = ⋯ = 0

⟲⊞ 15(↱)

コイン投げのモデル（無限試行） 1

投げる回数が無制限ならば出方の可能性全体は Ω = {(ω_{1}, ω_{2}, ω_{3}, ⋯)|ω_{j} ∈ {H,T }(j = 1, 2, 3, …)} ⟶ 連続濃度!! Ωの各元(標本)ω に割り当てられるべき確率P ({ω})は0 にならざるをえないどのような事象にまず確率を割り当てればよいか?

コイン投げのモデル（無限試行） 2

任意の回数nと任意の表裏の並びs = (s_{1}, s_{2}, ⋯, s_{n})に対して

P ({ω ∈ Ω|ω_{1} = s_{1}, ω_{2} = s_{2}, ⋯, ω_{n} = s_{n}})

= p^{♯(i:s_{i}=H)} (1 − p)^{♯(i:s_{i}=T)}

左辺に現れるような事象(筒集合)全体C の上では, 確率P が望ましい性質をもつことから, C を含む最小の事象族F 上にP が拡張可能(Hopfの拡張定理).

F はΩのすべての部分集合を尽くしてはいない.

F は可算回の極限操作で閉じているので, コイン投げの無限試行で考えたい確率的性質を議論するには十分.

コイン投げのモデル（無限試行） 3

第n回の試行の結果を表す確率変数X_{n} : Ω ⟶ ℝ

X_{n}(ω) = X_{n}(ω_{1}, ω_{2}, ⋯) = \begin{cases}1, & ω_{n} = H \\ 0, & ω_{n} = T \end{cases}

S_{n} = X_{1} + X_{2} + ⋯ + X_{n} :

n回の試行のうちの表が出る回数 S_{n}の平均と分散

E[S_{n}] = E[X_{1}] + E[X_{2}] + ⋯ + E[X_{n}] = np,
V (S_{n}) = V (X_{1}) + V (X_{2}) + ⋯ + V (X_{n})
= np(1 − p)

スケーリング極限1

⋆ 階層に応じた法則の記述

小さいスケール(ミクロ)での法則

⇓ 大きいスケール(マクロ)での法則

例熱力学 vs 統計力学極限によって普遍的な描像が洗い出される無限回の試行にかかわる性質が重要 ▶ 有限の量を取り出すための操作

⟶ 時間と空間に関するスケーリング極限

スケーリング極限2

代表的な極限定理の例として, S_{n}のn → ∞での漸近挙動 (長時間挙動)を記述する

大数の法則中心極限定理 Poissonの少数の法則

について, 収束(極限)の意味に注意しながら紹介

大数の法則(Law of Large Numbers)

大数の強法則

P ( lim_{n→∞} \frac{1}{n}S_{n} = p) = 1

大数の弱法則

lim_{n→∞} P (|\frac{1}{n}S_{n} − p| ≦ ϵ) = 1

(ϵは任意の正の誤差)

中心極限定理(Central Limit Theorem)

大数の法則より S_{n}/n − pがn → ∞で0にいくことがわかるので, 少し(√n倍) 拡大してみる(ゆらぎ):

Z_{n} = √\frac{n}{p(1 − p)} (\frac{S_{n}}{n} − p) (V (Z_{n}) = 1)

そうすると各標本ωごとにはZ_{n}が収束するかどうかわからないが, Z_{n}の分布が普遍的に正規分布に収束する.

中心極限定理 ; lim_{n→∞} P (Z_{n} ∈ [a, b]) = ∫_{a}^{b} \frac{1}{√2π} e^{−x^{2}/2}dx, a < b

IID和に対するLLNとCLT

独立同分布(IID)の確率変数列の和に一般化可能 LLN

lim_{n→∞}(\frac{X_{1} + X_{2} + ⋯ + X_{n}}{n} − M_{1}) = 0 a.s.

CLT

lim_{n→∞} P (√\frac{n}{C_{2}}(\frac{X_{1} + X_{2} + ⋯ + X_{n}}{n} − M_{1}) ∈ [a, b])

= ∫_{a}^{b} \frac{1}{√2π} e^{−x^{2}/2}dx

\frac{X_{1}}{n} +\frac{X_{2}}{n} +⋯+\frac{X_{n}}{n} ≑ M_{1}+√\frac{C_{2}}{n} Z, Z ∼ N(0, 1)

Poissonの少数の法則

n → ∞とともにp → 0の状況. つまり, めったに起こらない出来事を長時間にわたって観察する.

Poissonの少数の法則

np → λ > 0, n → ∞, p → 0の極限で

lim_{np→λ} P (S_{n} = k) = e^{−λ} \frac{k^{λ}}{k!}, k = 0, 1, 2, …

右辺の確率分布は平均λのPoisson分布

キュムラントの漸近挙動の計算1

モーメントやキュムラントの収束を計算することによって, 大数の法則, 中心極限定理, Poissonの少数の法則が成立する様子が確認できる.

分散は簡単に計算できた

V (\frac{X_{1} + X_{2} + ⋯ + X_{n}}{n} ) = \frac{p(1 − p)}{n}

n → ∞でこれは0に収束する. 大数の弱法則はこれからの帰結 (Chebyshevの不等式)

P (|S_{n}/n − M_{1} | ≧ ϵ) ≦ \frac{1}{ϵ^{2}} V (S_{n}/n)

⟲⊞ 25(↱)

キュムラントの漸近挙動の計算2

コイン投げのキュムラント母関数 log E[e^{z(X_{1}+X_{2}+···+X_{n})} ] = n log E[e^{zX_{1}}] = n log (pe^{z} + (1 − p)) = n log (1 + p(e^{z} − 1))

▶ n → ∞, p → 0, np → λ のとき

lim_{np→λ} log E[e^{z(X_{1}+X_{2}+···+X_{n})} ] = λ(e^{z} − 1)

右辺は平均λのPoisson分布のキュムラント母関数 (すなわちC_{1} = C_{2} = ⋯ = λ)

キュムラントの漸近挙動の計算3

▶ pを固定してn → ∞のとき, 上の計算でz のところに z/√np(1 − p) を代入した式を用いて

log E[e^{zZ_{n}}] = −zp√\frac{n}{p(1 − p)}

+ log E[e^{z/√np(1−p) (X_{1}+X_{2}+···+X_{n})} ]

= \frac{z^{2}}{2} + O(1/√n)

右辺の主要項(第１項)は標準正規分布N(0, 1)のキュムラント母関数

コイン投げのモデルの一般化

X_{1}, X_{2}, X_{3}, ⋯ “確率変数”の列 (∗)

• X_{j}X_{k} = X_{k}X_{j}  (可換性)
• E[X_{j}^{p}] = E[X_{k}^{p}], p ∈ {0, 1, 2, … } (同分布)
• E[X_{j}] = 0, E[X_{j}^{2}] = 1  (正規化)

さらに, 任意m個の異なる自然数j_{1}, j_{2}, ⋯, j_{m}と p_{1}, p_{2}, ⋯, p_{m} ∈ {0, 1, 2, … }に対して

• E[X_{j_{1}}^{p_{1}}X_{j_{2}}^{p_{2}} ⋯ X_{j_{m}}^{p_{m}}] = E[X_{j_{1}}^{p_{1}}]E[X_{j_{2}}^{p_{2}}] ⋯ E[X_{j_{m}}^{p_{m}}] (平均の乗法性)

▶ 各X_{j} が“関数”であることすら忘れてよい

⟲⊞ 28(↱)

中心極限定理(代数的アプローチ)

実確率変数Z が標準正規分布N(0, 1)にしたがう

⟺ E[Z^{p}] = \begin{cases}(2r)!/(2^{r}r!), & 偶数 p = 2r \\ 0, & 奇数 p \end{cases}

中心極限定理 (∗)の列 X_{1}, X_{2}, ⋯ に対して

lim_{n→∞} E[(\frac{X_{1} + X_{2} + ⋯ + X_{n}}{√n} )^{p} ]

= \begin{cases}(2r)!/(2^{r}r!), & 偶数 p = 2r \\ 0, & 奇数 p \end{cases}

中心極限定理の証明1

E[(\frac{X_{1} + X_{2} + ⋯ + X_{n}}{√n} )^{p} ]

= n^{−p/2} ∑_{k_{1},k_{2},··· ,k_{p}=1}^{n} E[X_{k_{1}}X_{k_{2}} ⋯ X_{k_{p}}] (BS)

右辺の大きな和の観察 ⋆ k_{1}, k_{2}, ⋯, k_{p}の中にsingletonがあれば

E[X_{k_{1}}X_{k_{2}} ⋯ X_{k_{p}}] = 0

例 E[X_{3}X_{1}X_{1}X_{2}X_{3}X_{1}] = 0 (p = 6)

⟲⊞ 30(↱)

中心極限定理の証明2

⋆ singletonを含まないk_{1}, k_{2}, ⋯, k_{p}の型に応じて (BS)の項を類別する. k_{1}, k_{2}, ⋯, k_{p}の中にi回現れる数字がm_{i}種類あるとき, 長さiの行をm_{i}段積んだものが型. 例 p = 8, k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}, k_{5}, k_{6}, k_{7}, k_{8} の型 (ア)5, 2, 4, 4, 5, 2, 4, 4, (イ)3, 1, 1, 6, 3, 9, 6, 9, (ウ)7, 3, 3, 3, 7, 7, 3, 7

(ア)  (イ)  (ウ)

中心極限定理の証明3

⋆ 各型で(BS)に現れるk_{1}, k_{2}, ⋯, k_{p}の組の個数を勘定 ⟶ 型の段数 = 異なる数字の数 = 自由度長さ2の行のみを積んだ型になる個数が最高のオーダー n^{p/2} を持ちうる他の型になる個数はすべてn^{p/2}よりも小さなオーダー

したがって, (BS)の右辺においてn^{−p/2} 倍されてn → ∞ とすると, 他の型の部分は0に収束. ▶ とくに, pが奇数ならば,

lim_{n→∞} (BS)の右辺 = 0

中心極限定理の証明4

⋆ 偶数p = 2rに対し, (BS)の右辺における最高オーダーの型になるk_{1}, k_{2}, ⋯, k_{2r} の個数:

n(n − 1)(n − 2) ⋯ (n − r + 1) P_{r},

ここで P_{r} は{1, 2, …, 2r} の対分割の個数例 P_{2} = 3

漸化式 P_{r+1} = P_{r} + 2rP_{r}, P_{1} = 1

⟺ P_{r} = \frac{(2r)!}{2^{r}r!}

⟲⊞ 33(↱)

対称性(symmetry)と群1

群作用 : 鏡映, 回転, 置換, ⋯ 群の表現 ⟺ 群の元(要素)の具体的なものへの作用

{対称性の考慮 ⟺ 群の作用で移りあうものを同一視 \atop ⟶ 大規模系の自由度を落とす}

例二面体群D_{n}

D_{4}

対称性と群2

置換に関する確率の対称性例サイコロ

\begin{aligned}確率 & : & p & q & r & r & q & p \\ 目 & : & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{aligned} 2(p + q + r) = 1

• 𝔖_{6}-対称 p = q = r

• 𝔖_{2} × 𝔖_{2} × 𝔖_{2} ≅ 𝔖_{{1,6}} × 𝔖_{{2,5}} × 𝔖_{{3,4}} -対称対称性の破れ — 部分群への制限ランダムネスを有効に取り込む

可換群, 格子

一般化されたコイン投げモデルを可換群の表現で構成 ℤ^{∞} ∋ α = (α_{1}, α_{2}, ⋯), α_{j} ∈ ℤ

α + β = (α_{1} + β_{1}, α_{2} + β_{2}, ⋯)

例 ℤ^{2} : 平面格子 ℤ^{3} : 立体格子 ▶ {U(α)}_{α∈ℤ^{∞}} : ℤ^{∞}を添字にもつ“変数”の族

U(α + β) = U(α)U(β)

U(0) = 1

⟶ ℤ^{∞}の表現

可換中心極限定理1

確率変数の空間

A = { ∑_{α∈ℤ^{∞}} x_{α}U(α) | x_{α} ∈ ℂ, 有限個以外はx_{α} = 0}

• Aにおける内積

⟨X, Y ⟩ = ∑_{α∈ℤ^{∞}} \overline{x_{α}} y_{α}

• Aにおける“平均”(状態)

E[X] = ⟨U(0), XU(0)⟩ = x_{0}

内積を用いた物理量の平均の定義

— 量子力学のコペンハーゲン解釈 (Bohr, ⋯)

⟲⊞ 37(↱)

可換中心極限定理2

ℤ^{∞}の表現U と状態E ⟶ 一般化されたコイン投げモデルの実現

第j 回試行 ; X_{j} = \frac{1}{√2}(U(e_{j}) + U(−e_{j})), j = 1, 2, 3, …

ただし, e_{j} = (0, ⋯, 0, 1, 0, ⋯)は基本ベクトル ⋆ X_{1}, X_{2}, X_{3}, ⋯ はE のもとで中心極限定理をみたす

自由群, 樹木

𝔽_{∞} : g_{1}, g_{2}, ⋯ が生成する自由群

g_{j}g_{j}^{−1} = g_{j}^{−1}g_{j} = e

以外には何も関係式がない (eは単位元)

例 𝔽_{2} の元はg_{1}, g_{2}, g_{1}^{−1}, g_{2}^{−1} の積の形, g_{1}g_{2} ≠ g_{2}g_{1} e g g^{−1} h  h^{−1} hg h^{−1}g g^{2} ghg h^{2}g g^{−1}hg  𝔽_{2}

樹木 — 元に戻るには通ってきた道をたどるしかない

⟲⊞ 39(↱)

自由中心極限定理1

𝔽_{∞}の表現 {U(g)}_{g∈𝔽_{∞}} 確率変数の空間

A = { ∑_{g∈𝔽_{∞}} x_{g}U(g) | x_{g} ∈ ℂ, 有限個以外はx_{g} = 0}

Aにおける内積と平均

⟨X, Y ⟩ = ∑_{α∈𝔽_{∞}} \overline{x_{α}} y_{α},
E[X] = ⟨U(0), XU(0)⟩ = x_{0}

X_{j} = \frac{1}{√2}(U(g_{j}) + U(g_{j}^{−1})), j = 1, 2, 3, …

自由中心極限定理2

自由群における中心極限定理

lim_{n→∞} E[(\frac{X_{1} + X_{2} + ⋯ + X_{n}}{√n} )^{p} ]

= \begin{cases}C_{r}, & 偶数 p = 2r \\ 0, & 奇数 p \end{cases}

C_{r} = \frac{1}{r + 1} \binom{2r}{r} = ∫_{−2}^{2} \frac{1}{2π} x^{2r}√4 − x^{2} dx

(Wignerの半円分布のモーメント)

⟲⊞ 41(↱)

Catalan数

Catalan数C_{r} は{1, 2, …, 2r} の非交差対分割の個数

非交差交差非交差

⋆ モーメントに着目した組合せ論的方法によれば, 自由中心極限定理の証明も通常の中心極限定理の証明と並行 (扱う分割の種類に違いが生じる)

本日のまとめ

確率論の論理構造単純な事象 ⟶ 複雑な事象 Kolmogorovの公理スケーリング極限による普遍法則の導出小さな(ミクロの)スケール

⟶ 大きな(マクロの)スケール大数の法則, 中心極限定理対称性の役割

群の表現を用いた中心極限定理

End of slides. Click [END] to finish the presentation.

Thank you!

⟲  END  Bye  ⊞