幾何学続論 「リーマン幾何学と統計多様体」 (Riemannian Geometry and Statistical Manifolds) (２０２４年度夏学期)

主として４年生以上向け．

• 村上信吾，多様体，共立出版
• 藤岡敦，入門情報幾何，共立出版
• B. Opozda, Bochner's technique for statistical structures, Ann. Glob. Anal. Geom. 48(2015), 357-395

などを参照するとよい．

[ 第１−３回 ] Affine connections, Vector bundles, Exterior covariant differentiations

[ 第４−６回 ] Riemannian metrics, Sectional curvatures

[ 第７−８回 ] Statistical models

[ 第９−１０回 ] Volume forms, Divergences

[ 第１１−１３回 ] Laplacians, Bochner's theorem

[ 第１４−１５回 ] Equiaffine hypersurfaces

幾何学続論(微分幾何) (Differential Geometry) (２０２３年度後期)

主として４年生以上向け．

幾何学続論 「等質空間の微分幾何学」 (Differential Geometry of Homogeneous Spaces) (２０２２年度春学期)

主として４年生以上向け．

• 竹内勝，Lie群II，岩波書店
• S. Helgason, Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Academic Press, Inc. / American Mathematical Society
• S. Kobayashi and K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, vol.1, vol.2, Wiley-Interscience
• J. Berndt, S.Console, and C. Olmos, Submanifolds and holonomy, Chapman and Hall/CRC

などを参照するとよい．

[ 第１−５回 ] Manifolds, Affine connections, Riemannian metrics

[ 第６−１１回 ] Lie groups, Homegeneous manifolds

[ 第１２回− ] Homogeneous submanifolds

幾何学続論 「リーマン幾何学」 (Riemannian Geometry) (２０１９年度春学期)

主として４年生以上向け．

• 酒井隆，リーマン幾何学，裳華房
• P. Petersen, Riemannian geometry, Springer

の中から内容を選んで解説する． また，

• J.H. Eschenburg, Comparison theorems and hypersurfaces, manuscripta math. 59(1987), 295-323

などを参照するとよい． ほかに全般にわたり，

• S. Kobayashi and K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, vol.1, vol.2, Wiley-Interscience

も参考になる．

[ 第１−４回 ] Manifolds and parallel translation

[ 第５−７回 ] Torsion and Levi-Civita connections

[ 第８−１０回 ] Curvature and Jacobi fields

[ 第１１−１５回] Bishop-Gromov's comparison theorem

幾何学続論 「多様体の幾何構造」 (Geometric structures on manifolds) (２０１７年度春学期)

主として４年生以上向け．

• S. Kobayashi and K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, vol.1, Wiley-Interscience

の I, II 章の内容を主に解説する． 多様体論に不安がある場合は，

• 藤岡敦，具体例から学ぶ多様体，裳華房
• 松島与三，多様体入門，裳華房

などを参考にするとよい．ほかに全般にわたり，

• 今野宏，微分幾何学，東京大学出版会
• スターンバーグ，微分幾何学，吉岡書店

も参考になる．

[ 第１−５回 ] Manifolds, Tangent Bundles, Lie Groups

[ 第６−１１回 ] Principal Bundles, Connections

[ 第１２−１５回 ] Riemannian Structures, G-structures

幾何学続論 「超曲面の射影微分幾何学入門」 (Introduction to projective differential geometry of hypersurfaces) (２０１６年度後期)

主として４年生以上向け．

• K.Nomizu and T.Sasaki, Affine Differential Geometry, Cambridge Univ. Press

のIV.8 節の内容をおもに解説する （日本語版は裳華房）． 基礎的なことは，たとえば

• 村上信吾，多様体，共立出版

も参考にするとよい．

[ 第１−４回 ] Vector fields, Connections, Riemannian metrics, Volume forms

[ 第５−９回 ] Equiaffine hypersurfaces, Centroaffine hypersurfaces, Centroaffine immersions of codimension two

[ 第１０−１３回 ] Projective hypersurfaces, the Pick-Berwald theorem

[ 第１４−１５回 ] Projective minimal surfaces

幾何学続論 「部分多様体と複素微分幾何学」 (Submanifolds and Complex Differential Geometry) (２０１４年度前期)

主として４年生以上向け．

• S.Kobayashi and K.Nomizu, Foundations of Differential Geometry, vol.2, chap.7,9, Wiley-Interscience

の内容をおもに解説する．たとえば

• 村上信吾，多様体，共立出版

も参考にするとよい．

[ 第１−３回 ] Manifolds, Tangent spaces

[ 第４−６回 ] Vector bundles, Differential forms

[ 第７−１１回 ] Connections, Sectional curvatures

• Furuhata H.; Hypersurfaces in statistical manifolds, Differential Geom. Appl. 27(2009), 420-429.

[ 第１２−１３回 ] Submanifolds

[ 第１４−１５回 ] Diastasis and Rigidity

• Calabi, E., Isometric imbedding of complex manifolds, Ann. of Math. 58(1953), 1-23.
• Umehara M., Kaehler submanifolds of complex space forms, Tokyo J. Math. 10 (1987), 203-214.
• Umehara M., Diastases and real analytic functions on complex manifolds, J. Math. Soc. Japan 40 (1988), 519-539.

幾何学続論 「ヘッセ多様体の微分幾何学」 (Differential Geometry of Hessian Manifolds) (２０１３年度前期)

主として４年生以上向け．

• 志磨裕彦，ヘッセ幾何学，裳華房

の内容を解説する．一般的な事項については，たとえば

• S.Kobayashi and K.Nomizu, Foundations of Differential Geometry, 2 vols, Wiley-Interscience
• 佐武一郎，リー環の話，日本評論社

を参考にするとよい．

[ 第１−４回 ] Regular convex cones

Example:130408.nb (Use Mathematica or http://www.wolfram.com/cdf-player/. )

[ 第５−６回 ] Jordan algebras

[ 第７−９回 ] Lie algebras and Lie groups

[ 第１０回 ] Homogeneous spaces

[ 第１１−１２回 ] Connections

[ 第１３−１５回 ] Symmetric spaces with invariant Hessian structures

現代数学概説(極小曲面 --- 石鹸膜の数学) (２０１１年度前期)

主として理学院大学院生向け．一般的な事項については，たとえば

• A. Gray, E.Abbena and S.Salamon, Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica, CRC Press,
• J.C.C. Nitsche, Lectures on Minimal Surfaces Vol.1, Cambridge Univ. Press,
• 小磯憲史，変分問題，共立出版，

を参考にするとよい．

幾何学続論 「曲線と曲面の微分幾何学続論」 (Differential Geometry of Curves and Surfaces) (２０１０年度後期)

主として４年生以上向け．一般的な事項については，たとえば

• S.Kobayashi and K.Nomizu, Foundations of Differential Geometry, 2 vols, Wiley-Interscience,
• M.Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, 5 vols, Publish or Perish,

を参考にするとよい．

[ 第１−４回 ] Review --- Connections and Hypersurfaces

[ 第 ５ 回 ] Einstein hypersurfaces

• T.Y. Thomas, Extract from a Letter by E. Cartan Concerning my Note: On Closed Spaces of Constant Mean Curvature, Amer. J. Math. 59(1937), 793-794.
• A. Fialkow, Hypersurfaces of a space of constant curvature, Ann. of Math. 39(1938), 762-785.

[ 第 ６ 回 ] Rigidity of hypersurfaces

• R. Beez, Zur Theorie der Krummungsmasses von Mannigfaltigkeiten hoherer Ordung, Zeit. fur Math. und Physik, 21(1876), 373-401.
• C.B. Allendoerfer, Rigidity for spaces of class greater than one, Amer. J. Math. 61(1939), 633-644.

[ 第 ７ 回 ] Convexity of hypersurfaces

• ?? J. Hadamard, Les surfaces a courbures opposees et leur lignes geodesiques, J. Math. Pures. Appl. 4(1896), 27-73.
• S.S. Chern and R.K. Lashof, On the total curvature of immersed manifolds II, Michigan Math. J. 5(1958) 5-12.

[ 第 ８ 回 ] Rigidity of ovaloids

• S. Cohn-Vossen, Zwei Satze uber die Starrheit der Eiflachen, Nachr. Ges. Wiss. Gottingen (1927), 125-134.
• G. Herglotz, Uber die Starrheit der Eiflachen, Abh. Math. Sem. Hansischen Univ. 15(1943), 127-129.

[ 第 ９ 回 ] Realization of metrics of positive curvature

• H. Weyl, Uber die Bestimmung einer geschlossenen konvexen Flache durch ihr Linienelement, Vierteljahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft, Zurich, 61(1916), 40-72.
• L. Nirenberg, The Weyl and Minkowski problems in differential geometry in the large. Comm. Pure Appl. Math. 6(1953), 337-394.

[ 第 １０ 回 ] Realizability of metrics of negative curvature

• D. Hilbert, Ueber Flachen von constanter Gaussscher Krummung, Trans. Amer. Math. Soc. 2(1901), 87-99.
• T.Klotz Milnor, Efimov's theorem about complete immersed surfaces of negative curvature, Advances in Math., 8(1972), 474-543,
• W.Henke, Isometrische Immersionen des n-dim. hyperbolischen Raumes H^n in E^{4n-3}, Manuscripta Math. 34 (1981), 265-278.

[ 第 １１ 回 ] Realization of metrics of negative curvature

• Hano J. and Nomizu K., On isometric immersions of the hyperbolic plane into the Lorentz-Minkowski space and the Monge-Ampere equation of a certain type, Math. Ann. 262(1983), 245-253.
• B. O'Neill, Semi-Riemannian geometry with applications to relativity, Academic Press, Inc.

[ 第 １２ 回 - ] Introduction to centroaffine geometry

幾何学特論４ 「統計多様体の微分幾何学入門」 (２００６年度後期)

主として４年生以上向け．一般的な事項については，たとえば

• S.Amari and H.Nagaoka, Methods of Information Geometry, American Mathematical Society,
• 志磨裕彦，ヘッセ幾何学，裳華房，
• 黒瀬俊, 統計多様体の幾何学, ２１世紀の数学---幾何学の未踏峰 (宮岡礼子・小谷元子 編), 日本評論社

を参考にするとよい．

[ 第１−５回 ] 統計構造の定義と例については，上記のほかに，たとえば

• 野水克己，現代微分幾何入門，裳華房，
• 野水克己・佐々木武，アファイン微分幾何学，裳華房，
• 駒木文保，情報幾何学，数学セミナー，２００６年７，８，９月号，
• H.V.Le, Statistical manifolds are statistical models, J. Geom. 84 (2005), 83--93

を参照．

[ 第６−８回 ] 統計多様体のダイバージェンスについては，上記のほかに，たとえば

• T.Kurose, On the divergences of 1-conformally flat statistical manifolds, Tohoku Math. J. 46(1994), 427--433

を参照．

[ 第９−１２ 回 ] 統計多様体の接束の概ケーラー構造については， 上記のほかに，たとえば

• K.Yano and S.Ishihara, Tangent and Cotangent Bundles, Marcel Dekker,
• S.Kobayashi and K.Nomizu, Foundations of Differential Geometry Vol.II, Wiley-Interscience,
• 酒井隆，リーマン幾何学，裳華房，
• S.Goldberg, Integrability of almost Kaehler manifolds, Proc. Amer. Math. Soc. 21(1969), 96-100

を参照．

[ 第１３回− ] 正則統計多様体については， 上記のほかに，たとえば

• D.V.Alekseevsky, V.Cortes and C.Devchand, Special complex manifolds, J. Geom. Phys. 42(2002), 85--105,
• Z.Lu, A note on special Kahler manifolds, Math. Ann. 313(1999), 711--713

を参照．

幾何学特論６ 「リーマン幾何学入門」 (２００５年度後期)

主として４年生以上向け．一般的な事項については，たとえば

• 酒井隆，リーマン幾何学，裳華房

を参考にするとよい．

[ 第１−４回 ] ベクトル束と接続については，上記のほかに，たとえば

• 小林昭七，接続の微分幾何とゲージ理論，裳華房

を参照．

[ 第５−９回 ] リーマン計量とその完備性については，上記のほかに，たとえば

• 西川青季， 幾何学的変分問題， 岩波書店(岩波講座現代数学の基礎２８)，
• K. Nomizu and H. Ozeki, The existence of complete Riemannian metrics, Proc. Amer. Math. Soc., 12(1961), 889-891

を参照．

[ 第１０回− ] 非固有アファイン球面に関するカラビの定理については，たとえば

• 野水克己・佐々木武，アファイン微分幾何学，裳華房，
• A.M.Li, U.Simon and G.S.Zhao, Global affine differential geometry of hypersurfaces, Walter de Gruyter & Co.
• E.Calabi, Improper affine hyperspheres of convex type and a generalization of a theorem by K. Jorgens, Michigan Math. J. 5(1958), 105-126.
• S.Y.Cheng, and S.T.Yau, Differential equations on Riemannian manifolds and their geometric applications, Comm. Pure Appl. Math., 28(1975), 333-354.
• A.Martinez, Improper affine maps, Math. Z., 249(2005), 755-766

を参照．

幾何学続論３ 「現代曲面論入門」 (２００３年度後期)

主として４年生以上向け．一般的な事項については，たとえば

• 西川青季， 幾何学的変分問題， 岩波書店(岩波講座現代数学の基礎２８)

を参考にするとよい．

[ 第１−５回 ] 部分多様体論のための微分幾何学の基礎理論については，たとえば

• S.S.Chern, W.H.Chen & K.S.Lam, Lectures on Differential Geometry, World Scientific,
• H. Jacobowitz, The Gauss-Codazzi equations, Tensor(N.S.), 39(1982), 15-22

を参照．

[ 第６−９回 ] Lelieuvreによる曲面の表現公式については，たとえば

• N.Koike & K.Takekuma, Equiaffine immersions of general codimension and its transversal volume element map, Result Math., 39(2001), 274-291,
• N.Koike, A generalization of Lelieuvre's formula to equiaffine immersions of general codimension, Result Math., 43(2003), 150-155

を参照．

[ 第１０回− ] アファイン極小曲面については，たとえば

• 野水克己・佐々木武，アファイン微分幾何学，裳華房，
• A.M.Li & F.Jia, Affine maximal hypersurfaces, Preprint

を参照．

• E.Calabi, Hypersurfaces with maximal affinely invariant area, Amer. J. Math. 104(1982), 91--126.
• L.Verstraelen & L.Vrancken, Affine variation formulas and affine minimal surfaces, Michigan Math. J. 36(1989), 77--93.
• S.S.Chern & C.L.Terng, An analogue of Backlund's theorem in affine geometry, Rocky Mountain J. Math. 10(1980), 105--124.
• N.S.Trudinger & X.J.Wang, The Bernstein problem for affine maximal hypersurfaces, Invent. Math. 140(2000), 399--422.
• N.S.Trudinger & X.J.Wang, Affine complete locally convex hypersurfaces, Invent. Math. 150(2002), 45--60.
• A.M.Li & F.Jia, The Calabi conjecture on affine maximal surfaces, Results Math. 40(2001), 265--272.

も参考にするとよい．

幾何学特論３ 「古典微分幾何学とその応用」 (２００２年度後期)

主として４年生以上向け． 一般的な事項については，たとえば

• 酒井隆，リーマン幾何学，裳華房

を参考にするとよい．

[ 第１−８回 ] 多様体論の復習と接束のコダッチ構造について，たとえば

• K.Yano & S.Ishihara, Tangent and Cotangent Bundles, Marcel Dekker,
• H.Matsuzoe & J.Inoguchi, Statistical structures on tangent bundles, Preprint

を参照．

[ 第９−１４回 ] 曲面論の復習と中心アファイン極小曲面について，たとえば

• 野水克己・佐々木武，アファイン微分幾何学，裳華房，
• C.P.Wang, Centroaffine minimal hypersurfaces in R^{n+1}, Geom. Dedicata 51(1994), 63-74

を参照．

幾何学続論２ 「リー群とアフィン接続 --- 近代微分幾何学入門」 (２００１年度前期)

主として４年生以上向け．

[ 第１−５回 ] アフィン接続の基礎理論，とくに

• 落合卓四郎，微分幾何入門下，東京大学出版会

の7.1から8.3までの内容．

[ 第６−１０回 ] リー群の基礎理論，とくに上記落合卓四郎 の第６章の内容． ほかに，たとえば

• 小林俊行，大島利雄，Lie群とLie環，岩波講座現代数学の基礎，
• F.W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer

を参照のこと．

[ 第１１−１４回 ] リー群上のアフィン接続と擬リーマン計量の基礎理論． たとえば

• S. Helgason, Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces, Academic Press,
• J. Milnor, Curvatures of left invariant metrics on Lie groups, Advances in Math.,21(1976),293-329,
• K. Nomizu, Invariant affine connections on homogeneous spaces, Amer.J.Math.,76(1954),33-65

を参照のこと．

幾何学続論１「曲面論再入門」 (１９９９年度後期)

主として院生向け．

[ 第１回 ] 回転対称な負定曲率曲面の構成については， たとえば，

• M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol.3, Publish or Perish,
• A. Gray, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces, CRC press

を参照のこと．

[ 第２−４回 ] リー群とそのモーラー・カルタン形式については， たとえば，

• M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol.1, Publish or Perish,
• P. Griffiths, On the Cartan method of Lie groups and moving frames as applied to existence and uniqueness questions in differential geometry, Duke Math. J., 41(1974), 735-779

を参照のこと．

[ 第５−６回 ] 等質空間とその接続については， たとえば，

• 小林昭七， 接続の微分幾何とゲージ理論，裳華房,
• M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol.2, Publish or Perish,
• K. Nomizu, Invariant affine connections on homogeneous spaces, Amer.J.Math.,76(1954),33-65

を参照のこと．

[ 第７−８回 ] 動標構と部分多様体の基本定理については， 上記 Spivak, Vol.3 や Griffiths のほか，

• P.A. Griffiths & G.R. Jensen, Differential systems and isometric embeddings, AMS114, Princeton Univ. Press

を参照のこと．

[ 第９−１１回 ] ベックルントの定理については，

• K. Tenenblat, Transformations of manifolds and applications to differential equations, Longman,
• S.S. Chern & C.L. Terng, An analogue of Backlund's theorem in affine geometry, Rocky Mountain J. Math., 10(1980), 105-124,
• 戸田盛和， 波動と非線形問題３０講， 朝倉書店

を参照のこと．

[ 第１２−１３回 ] ヒルベルトの定理については， 上記 Spivak, Vol.3 と

• 佐々木重夫，微分幾何学，岩波書店,
• M. do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces, Prentice-Hall,
• T.Klotz Milnor, Efimov's theorem about complete immersed surfaces of negative curvature, Advances in Math., 8(1972), 474-543,
• W. Henke & W. Nettekoven, The hyperbolic n-spaces as a graph in Euclidean (6n-6)-space, Manuscripta Math., 59(1987), 13-20

を参照のこと．

集中講義（山形大学理学部，数理構造特選Ｅ） (２０１５年度後期)

「射影空間内の曲面の微分幾何学」

集中講義（東北大学大学院情報科学研究科，システム情報数理学特選） (２００７年度後期)

「統計多様体の微分幾何学」

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