修士論文
確率的セルオートマトンの臨界確率の上限について

倉島　祐一
北海道大学大学院理学研究科
博士前期課程 数学専攻

2001年3月

概要:

Cellular Automatonは統計物理学で最近深く研究されている分野である。本論文で はStochastic cellular automatonの臨界確率について、

1. Maury Bramson and Claudia Neuhauser;Survival of one-dimensional cellular automata under random perturbations.
2. Richard Durrett;Lecture notes on particle systems and percolation.

を参照しそれにおける主要な定理：

Theorem.     全ての初期配列 $\xi_{0} \in \mathcal{P} (\bf Z)$に対して、

$$\begin{eqnarray*} \liminf_{n \to \infty} \min_{\vert x\vert < \gamma n} P(\xi_{n}(x) = 1 \quad or \quad \xi_{n}(x ＋ 1) = 1) > \rho \end{eqnarray*}$$

となるような、 $\rho \equiv \rho (\varepsilon) > 0$及び $\gamma \equiv \gamma (\varepsilon) > 0$が存在する。

とそれを導くために必要な次の命題:

Proposition.    $\delta > 0$とし、 $\varepsilon \equiv \varepsilon(\delta) > 0$を十分小さいと仮定する。 $(z,k) \in \mathcal{ L}$に対して、もし$\xi_{kT}$が$I_z$でadmissibleならば$1-\delta$以上の確率で$\xi_{(k+1)T}$は$I_{z-1}^r$ , $I_{z+1}^l$の両方でadmissibleである。

の証明を中心にまとめている。