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修士論文
確率的セルオートマトンの臨界確率の上限について

倉島祐一

北海道大学大学院理学研究科

博士前期課程数学専攻

2001 年 3 月

概要

Cellular Automaton は統計物理学で最近深く研究されている分野である。本論文では Stochastic cellular automaton の臨界確率について、

Maury Bramson and Claudia Neuhauser;Survival of one-dimensional cellular automata under random perturbations.
Richard Durrett;Lecture notes on particle systems and percolation.

を参照しそれにおける主要な定理：

Theorem. 全ての初期配列 $ξ_{0} \in P (Z)$ に対して、

\begin{matrix} {lim inf}_{n \to \infty} {min}_{∣ x ∣ < γ n} P (ξ_{n} (x) = 1 o r ξ_{n} (x ＋ 1) = 1) > ρ \end{matrix}

となるような、 $ρ \equiv ρ (ɛ) > 0$ 及び $γ \equiv γ (ɛ) > 0$ が存在する。

とそれを導くために必要な次の命題:

Proposition. $δ > 0$ とし、 $ɛ \equiv ɛ (δ) > 0$ を十分小さいと仮定する。 $(z, k) \in L$ に対して、もし $ξ_{k T}$ が $I_{z}$ で admissible ならば $1 - δ$ 以上の確率で $ξ_{(k + 1) T}$ は $I_{z - 1}^{r}$ , $I_{z + 1}^{l}$ の両方で admissible である。

の証明を中心にまとめている。目次第 1 章 Introduction Cellular automaton は統計物理学で最近、研究されてきている分野である。複雑系の性質としてよく引き合いに出される「局所的なルールからは予想も出来ない大域的な現象」という性質に着目し、本論文ではそれを理解するための一つのアプローチとして離散時間における particle の相転移現象を簡単な確率的なモデルを使って説明していきたい。本論文の主要な結果としては、任意の初期配列からはじめて任意の局所的なルールで無限クラスター（particle が消滅せずに生き残る）ができる臨界確率の上限の評価である定理の証明である。本論文の構成はまず２章でこれから考えるプロセスの確率モデルの定義と主定理を述べ、３，４章でそれを証明するために必要な考え方を述べていく。そして５章で主定理の証明の記述する。最後に Rule90 に対する決定的なプロセスの収束定理を紹介する。第 2 章確率モデルの定義時間 $n$ における状態 $ξ_{n}$ が $Z$ の部分集合である離散時間マルコフ課程を考える。 Deﬁnition2.1.(particle)
$x \in ξ_{n}$ に対して $ξ_{n} (x) \equiv 1$ 、 $x$ において particle が存在する、または $x$ が occupied であると言う。
$x \notin ξ_{n}$ に対して $ξ_{n} (x) \equiv 0$ 、 $x$ において particle が存在しない、または $x$ が vacant であると言う。時間発展における $ξ_{n}$ の値は以下で与えられる定義に従う。 Deﬁnition2.2.(確率モデル)
$f$ を ${0, 1}^{3}$ $\to$ ${0, 1 - ɛ}$ , $(0 <= ɛ <= 1)$ の関数とする。この $f$ をルールとも呼ぶ。
(1) $P (x \in ξ_{n + 1} ∣ ξ_{n}) = f (ξ_{n} (x - 1), ξ_{n} (x), ξ_{n} (x + 1))$ つまり $ξ_{n + 1}$ の $x$ における値は $ξ_{n}$ の $x - 1, x, x + 1$ の値だけに依存する。
(2) $ξ_{n}$ を与えられたときに、事象 ${x \in ξ_{n + 1}}$ 、 $x \in Z$ は独立とする。 $ɛ = 0$ ならば cellular automaton は決定的であり、初期配列 $ξ_{0}$ を与えれば任意の $n$ において $ξ_{n}$ は決まる。 (1),(2) を満たす cellular automaton は $2^{8} = 256$ 存在する。ここでルールの番号についての定義をする。 Deﬁnition2.3.(ルール番号)
$α_{i} \in {0, 1}$ , for $i = 0, 1,,, 7$ , $β_{j} \in {0, 1}$ for $j = 0, 1, 2$ とする。ルール番号を次で与える。これは 256 通り。 $\sum_{β_{0}, β_{1}, β_{2} \in {0, 1}} f (β_{0}, β_{1}, β_{2}) 2^{4 β_{2} + 2 β_{1} + β_{0}}$ 次にルールに制限を加え以下のルールだけを考える。 Deﬁnition2.4.(ルールへの制限)
(a) vacant site だけから成る状態はそのまま変わらない。つまり $α_{0} = 0$ 。
(b) ルールは対称性がある。つまり両端の値を交換しても次の step で site の値は変わらない。
(c) $α_{1}$ (対称性より $α_{4}$ ) は１である。つまり $f = (0, 0, 1) = f (1, 0, 0) = 1$ 。
この制限をすることにより 16 ルールが残る。以下本論文ではルール 22 でも主定理は成立するが相当面倒であるので除外する（文献 [1] 参照）。また $α_{2} = f (0, 1, 0) = 0$ を満たす 8 個のルールを Type(1)、 $α_{2} = 1$ を満たす残りの 8 個のルールを Type(2) と呼ぶ。

Rule	111	110	101	100	011	010	001	000

18	0	0	0	1	0	0	1	0
22	0	0	0	1	0	1	1	0
50	0	0	1	1	0	0	1	0
54	0	0	1	1	0	0	1	0
90	0	1	0	1	1	0	1	0
94	0	1	0	1	1	1	1	0
122	0	1	1	1	1	0	1	0
126	0	1	1	1	1	1	1	0
146	1	0	0	1	0	0	1	0
150	1	0	0	1	0	1	1	0
178	1	0	1	1	0	0	1	0
182	1	0	1	1	0	1	1	0
218	1	1	0	1	1	0	1	0
222	1	1	0	1	1	1	1	0
250	1	1	1	1	1	0	1	0
254	1	1	1	1	1	1	1	0

本論文で使う初期配列を定義するために次の記号を導入する。

{ξ_{n}^{ζ}}_{}^{̂}

；

{ξ_{0}^{ζ}}_{}^{̂} = ζ

で時間

n

における決定的なプロセス（

ɛ = 0

)。時間１においてプロセスが empty(その時間において occupied site が存在しない) になるのを除外するため次の初期配列を定義する。 Deﬁnition2.5.(初期配列)

I \subset Z

に対して

P (I) = {ζ; {ξ_{1}^{ζ}}_{}^{̂} \cap I \neq \emptyset}

Deﬁnition2.6.(2-dependent oriented site percolation)

L = {(z, k) \in Z^{2}; z + k = e v e n}

とする。 The oriented site percolation プロセスは値が

{0, 1}

をとる確率変数

{ω (z, k); (z, k) \in L}

の集まりである。このプロセスが 2-dependent with density

1 - δ

であるとは;
もし任意の列

(z_{j}, k_{j})

1 <= j <= l

に対して

i \neq j

k_{i} = k_{j}

の両方のとき

∣ z_{i} - z_{j} ∣ > 4

を満たすならば

P (ω (z_{j}, k_{j}) = 0 f o r 1 <= j <= l) = δ^{l} .

Deﬁnition2.6.(open path)

(y, 0)

から

(z, k)

への open path と言う言葉で次の事を意味する。

0 <= j <= k - 1

に対して

z_{j + 1} = z_{j} + (1, 1)

z_{j + 1} = z_{j} + (- 1, 1)

を満たす

L

における点列

z_{0} = (y, 0), z_{1},,, z_{k} = (z, k) .

また、

W_{k}^{A} = {z ∣ あ る y \in A に 対 し て (y, 0) か ら (z, k) へ の o p e n p a t h が 存 在 す る}

Ω_{\infty} = ⋂_{k = 0}^{\infty} {W_{k}^{{0}} \neq \emptyset}

つまり

W_{k}^{A}

とは時間 0 における source A と連結している時間 k の wet site の事である。そして

Ω_{\infty}

が起こるとは

(0, 0)

からはじまる無限クラスターが存在する事である。 Lemma2.7.

{ω (z, k); (z, k) \in L}

を density

1 - δ

(

δ <= 6^{- 100}

) の 2-dependent oriented site percolation とする。そのとき

P (Ω_{\infty}) > 0

そして

{lim inf}_{k \to \infty} {min}_{∣ z ∣ < γ k (z, k) \in L} P (z \in W_{k}^{{0}}) > ρ

を満たす

ρ > 0, γ > 0

が存在する。この証明は省略する。（Durrett and Neuhanser (1991) 参照） //

G = {z; ξ_{0} \in P (I_{z})}

とする。また、定義 2.6 より

W_{k}^{A} \subset {z; (z, k) i s o c c u p i e d}

。次の Proposition は Lemma2.7 より従う。 Proposition2.8. 十分小さな

ɛ > 0

に対して

G \neq \emptyset

で

{lim inf}_{k \to \infty} {min}_{∣ z ∣ < γ_{0} k (z, k) \in L} P ((z, k) i s o c c u p i e d) > ρ_{0}

を満たすような

ρ_{0} \equiv ρ_{0} (ɛ) > 0

γ_{0} \equiv γ_{0} (ɛ) > 0

が存在する。
Theorem Type(1) ルールに対して十分小さな

ɛ > 0

で、

{lim inf}_{n \to \infty} {min}_{∣ x ∣ < γ n} P (ξ_{n} (x) = 1 o r ξ_{n} (x + 1) = 1) > ρ

を満たす

ρ \equiv ρ (ɛ) > 0

と

γ \equiv γ (ɛ) > 0

が存在する。 Type(2) ルールに対しては

{lim inf}_{n \to \infty} {min}_{∣ x ∣ < γ n} P (ξ_{n} (x) = 1) > ρ

が同じ条件で成り立つ。第 3 章 Populating the target interval プロセス

ξ_{n}

を oriented site percolation と比較するために以下の記号を導入する。

$L = 10 ⌊ ɛ^{- 3 / 2} ⌋$ , $T = 4 L$ ここで、 $⌊ y ⌋$ ; y の整数部分。
$φ (z, k) = (2 z L, k T) f o r \forall (z, k) \in L$
$B = [- 2 L, 2 L) \times (0, T]$
$B (z, k) = φ (z, k) + B f o r \forall (z, k) \in L$
$I = [- L, L), I_{z} = 2 z L + I$
$I^{l} = [- L, 0), I_{z}^{l} = 2 z L + I^{l}$
$I^{r} = [0, L), I_{z}^{r} = 2 z L + I^{r}$

Deﬁnition3.1.(admissible)
$ζ$ が I で admissible であるとは、全てのルールに対して $ζ \in P (I) = P_{ɛ}^{1} (I)$ であるときを言う。ここで $P_{λ}^{j} (I) = {ζ; P (ξ_{j}^{ζ} \cap I = \emptyset) <= λ} .$

この章ではもし $ξ_{0}$ が $I_{0}$ で admissible ならば 1 に近い確率で target interval $[7 L / 5, 8 L / 5)$ がある時間 $n \in [1, T + 1]$ で particle を含む事を示す。

まず、 tagged particle を定義する。

Deﬁnition3.2.(tagged particle)
任意の $n <= T$ に対して $R_{n}$ を時間 n における rightmost particle の位置であるとする。この $R_{n}$ を tagged particle と呼ぶ。 $ξ_{n}$ の性質より $R_{n + 1} - R_{n} <= 1$ である。

これから tagged particle がある時間 $n <= T$ において target interval に入り込むことを考えていく。 $R_{n}$ が時間発展で減少するのをコントロールするために次を定義する。

Deﬁnition3.3.(量 $L_{n}$ )
任意の $n >= 0$ に対して $L_{n} = max {x <= R_{n}; {ξ_{1}^{ξ_{n}}}_{}^{̂} (x) = 1} . (もし R_{n} = - \infty ならば L_{n} = - \infty)$

Deﬁnition3.4.(gap)
時間 $n + 1$ において site $L_{n} + 1, L_{n} + 2,,, R_{n}$ は全て vacant である。この vacant site の開きを gap と呼ぶ。 gap の size は次で与えられる。 $Y_{n} = R_{n} - L_{n} . (もし R_{n} = - \infty ならば Y_{n} = 0)$

$R_{n}$ の動きをコントロールするために、２つのケースを考える必要がある。
(1) gap $[L_{n + 1} + 1, R_{n}]$ が small。
このケースでは gap のどちらか一方の side で particle が生成される。
(2) gap が時間 n において large。
このケースでは $R_{n} + 1$ が時間 $n + 1$ において occupied のときだけ tagged
particle の動きをコントロールできる。

(2) における例外的な動きを無視するために、平均が正であるようなランダムウォークと $R_{n}$ を比較する。
まず、任意の $n < T$ に対して gap の少なくとも１つの side で particle が生成することを示す。つまり $ξ_{n + 1} (R_{n} + 1) = 1$ or $ξ_{n + 1} (L_{n}) = 1$ のどちらかが成り立つことを示す。

$n >= 0$ に対して $H_{n} = {ξ_{n + 1} (R_{n} + 1) = ξ_{n + 1} (L_{n}) = 0}$ $H = ⋃_{n = 0}^{T - 1} H_{n}$ とおく。 H は回避したい例外的な事象である。

任意の n に対して $P (H_{n}) <= ɛ^{2}$ なので $P (H) <= ɛ^{2} T = 40 ɛ ⌊ ɛ^{- 3 / 2} ⌋ <= 40 ɛ^{1 / 2};$ よって $ɛ \to 0$ で $P (H) \to 0 .$ Deﬁnition3.5.(disaster)
$R_{n + 1}$ は $H_{n}^{c}$ 上、次を満たす可能性が高い。 $R_{n + 1} >= R_{n} - Y_{n} a n d P (R_{n + 1} \neq R_{n} + 1; H_{n}^{c}) <= ɛ$ これ以外の事象、 $Y_{n} > ɛ^{- 3 / 4} a n d ξ_{n + 1} (R_{n} + 1) = 0$ を満たすときに、 disaster が起こると言う。
Deﬁnition3.6.(disaster time)
$S_{k}$ を disaster が起こる時間の列とおく。このとき、 $S_{1} = inf {n >= 0; Y_{n} > ɛ^{- 3 / 4}}$ $S_{k} = inf {n > S_{k - 1}; Y_{n} > ɛ^{- 3 / 4}} f o r k >= 2$ とする。
次の補題から大部分の時間 n に対して $Y_{n}$ があまり大きくないこと、つまり $Y_{n} <= ɛ^{- 3 / 4}$ であることが言える。
Lemma3.7. もし与えられた $k >= 1$ に対して $ξ_{S_{k} + 1} (R_{S_{k}} + 1) = 1$ ならばそのとき $H^{c}$ 上、 $S_{k + 1} - S_{k} > \frac{1}{2} ɛ^{- 3 / 4} .$ (proof) $S_{k}$ を $N$ で省略する。仮定より時間 $N + 1$ で $R_{N} + 1$ は occupied である。定義より $L_{N} + 1, L_{N} + 2,,, R_{N}$ は $N + 1$ で particle は存在しない。そして確率モデルの性質上、 gap の長さは時間発展の各 step で高々 1 だけしか減少しない。それゆえ時間 $N + m$ において $m + L_{N}, m + 1 + L_{N},,, - m + 1 + R_{N}$ には particle は存在しない。

$J_{m} = [R_{N} - m + 2, R_{N} + m]$ とする。時間 $N + 1$ における $R_{N} + 1$ の particle は $N + m$ で $J_{m}$ 内に particle を生成する。今、 $J_{m}$ を $m <= \frac{1}{2} ɛ^{- 3 / 4}$ に対して empty でないと仮定する。そのとき $R_{N + m} \in J_{m}$ , そして $L_{N + m} + 1 \in J_{m}$ 。それゆえ $Y_{N + m} < 2 m <= ɛ^{- 3 / 4}$ , つまり $S_{k + 1} > N + \frac{1}{2} ɛ^{- 3 / 4}$ 。

実際に $J_{m}$ が empty でない事を示すには帰納法を使う。 $J_{m - 1}$ が empty でないとする。そのとき $R_{N + m - 1} + 1 \in J_{m}$ , そして $L_{N + m - 1} \in J_{m}$ 。しかしながら $H_{N + m - 1}^{c}$ 上、少なくとも１つは occupied。よって $J_{m}$ は empty でない。 //

Lemma3.7 より時間 n が T に至るまでに disaster が起こる可能性があるのは $T / (\frac{1}{2} ɛ^{- 3 / 4}) + 1$ 回である。そして各々で disaster が起こる確率は $ξ_{n + 1} (R_{n} + 1) = 0$ が起きなければならないので $ɛ$ である。それゆえ $P (s o m e d i s a s t e r o c c u r s o n [0, T)) <= ɛ (2 T ɛ^{3 / 4} + 1) <= 90 ɛ^{1 / 4} \to 0 (ɛ \to 0)$ $K = H \cup {s o m e d i s a s t e r o c c u r s o n [0, T)}$ とすると、
$P (K) \to 0 (ɛ \to 0) (＊)$ ここで以下のようなランダムウォークを導入する。
$X_{1}, X_{2},,, X_{k},,,$ を独立同分布の確率変数で $P (X_{k} = 1) = 1 - ɛ$ , $P (X_{k} = - ɛ^{- 3 / 4}) = ɛ$ とする。このとき $E (X_{k}) = 1 - ɛ^{1 / 4} - ɛ .$ $V_{n} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}$ , $V_{0} = 0$ とする。
Lemma3.8. $ɛ > 0$ と $γ_{i}, C_{i} > 0 i = 1, 2$ に対して $(1) P (V_{n} < 12 L / 5 f o r a l l n <= T) <= C_{1} e x p {- γ_{1} ɛ^{- 3 / 2}}$ $(2) P (V_{n} <= - L / 5 f o r s o m e n <= T) <= C_{2} e x p {- γ_{2} ɛ^{- 3 / 4}}$ (proof) まず $P (V_{n} < 12 L / 5 f o r a l l n <= T) <= P (V_{4 L} < 12 L / 5)$ である。 small $ɛ$ に対して $E (X_{1}) >= 4 / 5$ . large deviation の結果から $P (V_{4 L} < 12 L / 5) <= C_{1} e x p {- γ_{1} L}$ が $γ_{1}, C_{1} > 0$ に対して成り立つ。

(2) については $n < N \equiv L ɛ^{3 / 4} / 5$ に対する $V_{n}$ については $- L / 5$ に達することは出来ない。よって large deviation の結果から $P (V_{n} <= - L / 5 f o r s o m e n <= T) <= \sum_{n >= N} C'_{1} e x p {- γ_{2} n} <= C_{2} e x p {- γ_{2} N}$ が適した $γ_{2}, C'_{1}, C_{2} > 0$ に対して成り立つ。
small $ɛ$ に対して $N >= ɛ^{- 3 / 4}$ なので (2) が成り立つ。 //

次の命題で tagged particle が考えている時間内に target interval に入り込むことが言える。
Proposition3.9. $η > 0$ とする。そして $R_{0} = - L$ と仮定し $- L$ の右には particle は存在しないとする。十分小さな $ɛ > 0$ に対して $P (R_{n} < 7 L / 5 f o r a l l n <= T) <= η .$ (proof) $R_{n}$ が時間 $T$ までに $7 L / 5$ の右側に動くことを示したい。 $R_{n}$ を次のランダムウォークと比較する。
${V_{n}}_{}^{̃} = - L + \sum_{k = 1}^{n} X_{k}, (n >= 0)$ ;
$X_{k} = 1 (ξ_{k + 1} (R_{k} + 1) = 1)$ , $X_{k} = - ɛ^{- 3 / 4} (ξ_{k + 1} (R_{k} + 1) = 0) .$
$P (X_{k} = 1) = 1 - ɛ$ , $P (X_{k} = - ɛ^{- 3 / 4}) = ɛ .$
${V_{0}}_{}^{̃} = R_{0} = - L$ なので ${V_{n}}_{}^{̃} <= R_{n} o n K^{c} .$ (＊) と Lemma3.8(1) より $P (R_{n} < 7 L / 5 f o r a l l n <= T) <= η .$ が成り立つ。 //

第 4 章

The repositioning algorithm 今、 $[L, 2 L)$ を等しい長さの５つの区間に分けて、それに左から $D_{1}, D_{2},,, D_{5}$ のように番号をつける。つまり $D_{k} = [L + 2 (k - 1) ⌊ ɛ^{- 3 / 2} ⌋, L + 2 k ⌊ ɛ^{- 3 / 4} ⌋) f o r k = 1, 2,,, 5 .$ $D_{3}$ が target interval で midpoint は $3 L / 2$ 。
次に repositioning algorithm について説明する。

$τ; D_{3} が p o p u l a t e (D_{3} 内に p a r t i c l e が含まれる) する最初の時間 (>= 1)$
$σ_{1}; D_{3} が e m p t y になる時間$
$R_{0}^{1}$ ; もし $ξ_{σ_{1}} \cap D_{2} \neq \emptyset$ であるならば $D_{2}$ におけるrightmost particleの位置.または $D_{2}$ が emptyで $ξ_{σ_{1}} \cap D_{4} \neq \emptyset$ であるならば $D_{4}$ における leftmost particle の位置.
もし $D_{2}$ , $D_{4}$ が共に empty ならば、 algorithm は失敗と言う。
$τ_{1}$ ; $J = {3 L / 2 - 1, 3 L / 2}$ が次で populate する時間
$R_{n}^{1}$ ; もし $R_{0}^{1} \in D_{2}$ ならば $τ_{1}$ までに $[L, 3 L / 2 - 1)$ 内に存在する時間 $n + σ_{1}$ でのrightmost particleの位置( $R_{0}^{1} \in D_{4}$ に対しては $D_{2}$ の時と対称的に定義する)
もし $[L, 3 L / 2 - 1)$ が $(σ_{1}, τ_{1})$ 上ずっとemptyならばalgo rithmは失敗。この方法を $T + 1$ まで帰納的に繰り返す。
$σ_{i}$ ; $D_{3}$ が empty である時間
$R_{0}^{i}$ ; $σ_{i}$ において $J$ に最も近い tagged particle の位置
$τ_{i}$ ; $J$ が populate する時間
$R_{n}^{i}$ ; 対応する tagged particle の位置
$E_{i}$ ; $(σ_{i}, τ_{i})$ 上 algorithm が失敗の事象
$F$ ; algorithm のrepositioning stepで失敗の事象(つまりある $σ_{i}$ において $D_{2} \cup D_{4}$ が empty となる事象)

また、この repositioning step は多くても４０回使うことが必要である。これは $D_{3}$ が empty の時間から再び $J$ が populate するのには少なくとも $L / 10 = T / 40$ 時間要するからである。よって $E = ⋃_{i = 1}^{40} E_{i} .$

次の命題は $E \cup F$ の確率が非常に小さいことを言っている。

Proposition4.1. 任意の $η > 0$ , $ɛ > 0$ に対して、少なくとも確率 $1 - η$ 以上で $n <= T + 1$ に対して algorithm は失敗しない。

(proof) (i) $P (E)$ が small であることを示す。
ランダムウォーク ${V_{n}}_{}^{̃} = v_{0} + \sum_{k = 1}^{0} X_{k}$ と $R_{n}^{i}$ を比較する。ここで $v_{0} = R_{0}^{i}$ 。 $R_{0}^{i} \in D_{2} \cup D_{4}$ ,tagged particle は距離 $L / 5$ 後退することができ、まだ $[L, 2 L)$ 内に残る。よって Lemma3.8(2) より $P (E_{i} \cap K_{i}^{c}) <= C_{2} e x p {- γ_{2} ɛ^{- 3 / 4}} f o r \forall i .$ ここで $K_{i}; H \cup {s o m e d i s a s t e r o c c u r s o n [σ_{i}, τ_{i})}$ 。 (＊) より $P (K_{i}) \to 0 (ɛ \to 0)$ 。 $K_{i}$ が起きなければ $E_{i}$ も起こらない。よって $P (E_{i}) \to 0$ 。 $E = ⋃_{i = 1}^{40} E_{i}$ より $P (E) <= \sum_{i = 1}^{40} P (E_{i}) \to 0$ 。ゆえに $P (E) \to 0 (ɛ \to 0) .$ (ii) $P (F)$ が small であることを示す。
これは命題 4.4 から従う。 //

F が起こるためには、たとえ $D_{3}$ が時間 n で populate しても時間 $n + 1 \in [2, T + 1]$ で $D_{2} \cup D_{3} \cup D_{4}$ が empty でなければならない。
それらの事象を $F_{n}$ によって表記する。
まず、次の定義と補題を与える。

Deﬁnition4.2.(vacant site の配列)
Q ; interval $[0, L / 5)$ 上の vacant site の割合を $δ_{1} > 0$ より小さくした配列の集合。

$Q^{2}$ ; $[0, L / 5)$ 上隣り合う site がないそれらの配列の集合。
Lemma4.3. 十分小さな $ɛ > 0$ と任意の $ζ$ に対して $P (ξ_{n}^{ζ} \in Q^{c} \cap Q^{2}) <= e x p {- δ_{1} ɛ^{- 1 / 2}} f o r \forall n >= 1$ (proof) $[0, L / 5)$ 上で $ξ_{n}^{ζ}$ の vacant site に $1, 2,,, K,$ によって左から右に番号をつける。そして $N_{n} (k)$ によって時間 n における k 番目の vacant site の位置とする。そのとき $P (N_{n} (k + 1) = N_{n} (k) + 1 ∣ ξ_{n - 1}, N_{n} (l) f o r l <= k) >= ɛ .$ $M = ⌊ δ_{1} L / 5 ⌋$ とし、 $G_{k}$ を $K >= k$ 上の集合とする。そして $A_{k} = {N_{n} (k + 1) \neq N_{n} (k) + 1} と表記する。$ このとき

\begin{matrix} P (A_{1} \cap,,, \cap A_{M - 1} \cap G_{M} ∣ ξ_{n - 1}) & = & \prod_{k = 1}^{M - 1} P (A_{k} \cap G_{M} ∣ A_{1} \cap,,, \cap A_{k - 1}, ξ_{n - 1}) \\ <= & \prod_{k = 1}^{M - 1} P (A_{k} ∣ A_{1} \cap,,, \cap A_{k - 1} \cap G_{k}, ξ_{n - 1}) \\ <= & {(1 - ɛ)}^{M - 1} . \end{matrix}

$Q^{c} \subset G_{M}$ なので、十分小さな $ɛ$ に対して

\begin{matrix} P (ξ_{n}^{ζ} \in Q^{c} \cap Q^{2}) & <= & {(1 - ɛ)}^{δ_{1} L / 5 - 2} \\ <= & {(1 - ɛ)}^{δ_{1} ɛ^{- 3 / 2}} . \end{matrix}

$log (1 - ɛ) <= - ɛ$ より $P (ξ_{n}^{ζ} \in Q^{c} \cap Q^{2}) <= e x p {- δ_{1} ɛ^{- 1 / 2}} . / /$ Proposition4.4. 十分小さな任意の $η > 0$ , $ɛ > 0$ に対して $P (F_{n}) <= η / T f o r n >= 1 .$ (proof) ３つの case に分けて考える。証明は、任意の $η > 0$ と初期配列 $ζ$ に対して $P ({F_{1}}_{}^{̂}) <= η ɛ^{3 / 2}$ を示すことである。ここで ${F_{1}}_{}^{̂}$ を $ξ_{1}^{ζ} \cap D_{3} \neq \emptyset$ で $ξ_{2}^{ζ} \cap (D_{2} \cup D_{3} \cup D_{4}) = \emptyset$ の事象とする。
(i) ルール 18 ( $α_{1} = α_{4} = 1$ で他の $α_{i} = 0$ ).

このルールでは時間 1 において一列に三つの occupied site が並ぶことは不可能である。例えば $[0, 3]$ 上に $1001$ と初期配列をおけば次の時間 1 において $x = 1, x = 2$ は occupied。しかし $ξ_{1} (0) = ξ_{1} (3) = 0$ 。それゆえ、 $ξ_{1}$ は $1 / 3 - δ_{2}$ の割合か $D_{2}$ と $D_{4}$ の両方ではそれより多くの site で empty。 (L が大きいので $δ_{2}$ は小さい)。 $δ_{1} <= 1 / 3 - δ_{2}$ に対して Lemma4.3 より $1 - 2 e x p {- δ_{1} ɛ^{- 1 / 2}}$ 以上の確率で、 $ξ_{1}$ は $D_{2}, D_{4}$ の両方で隣り合う vacant site の pair を得る。
次の記号を導入する。
$P_{L}$ ; $ξ_{1}^{ζ} \cap D_{3}$ における leftmost particle の位置
$P_{R}$ ; $ξ_{1}^{ζ} \cap D_{3}$ における rightmost particle の位置
(もし $ξ_{1}^{ζ} \cap D_{3} = \emptyset$ ならば $P_{L} = \infty$ , $P_{R} = - \infty$ .)

今、 $ξ_{1}^{ζ} \cap D_{3} \neq \emptyset$ の下で ${D_{2}}_{}^{̃} = [6 L / 5, P_{L}]$ , ${D_{4}}_{}^{̃} = [P_{R}, 9 L / 5)$ とすると一つの occupied site に隣り合う vacant site の pair がそれぞれで少なくとも一つは所有する。 $α_{1} = α_{4} = 1$ なので $1 - ɛ^{2}$ 以上の確率でそれらの triples の一つは時間 2 において particle を生成する。それゆえ

\begin{matrix} P ({F_{1}}_{}^{̃}) & <= & 2 e x p {- δ_{1} ɛ^{- 1 / 2}} + ɛ^{2} \\ <= & η ɛ^{3 / 2} . \end{matrix}

(ii) ルール with $α_{7} = 1$ .

ルール 18 のときと同様に $D_{2}, D_{4}$ での時間 1 での vacant site の割合を考える。もし両方の区間の vacant site の割合が $1 / 7$ 以上であれば (i) の case と同様である。

他方、長さ $L / 5$ の区間において vacant site の割合が $1 / 7$ より小さいと全ての three site が occupied である triple の数は少なくとも $L / 10$ である。 $α_{7} = 1$ より時間 2 でそれらの triples は particle を生成する。それらの全てが失敗である確率は多くても $ɛ^{L / 10}$ 。この二つの case を組み合わせて

\begin{matrix} P ({F_{1}}_{}^{̃}) & <= & 2 e x p {- 1 / 7 ɛ^{- 1 / 2}} + ɛ^{2} + ɛ^{L / 10} \\ <= & η ɛ^{3 / 2} . \end{matrix}

(iii) ルール with $α_{5} = 1$ or $α_{3} = α_{6} = 1$ , but $α_{7} = 0$ .

ここでは二つの part( $D_{2}$ と $D_{4}$ ) に分けて計算する。もし $D_{2}$ において時間 1 で vacant site の割合が $1 / 3$ 以上であれば (i) の case と同様である。

他方 $1 / 3$ 以下であれば、隣り合う occupied site の pair が現れる。またせいぜい ${(1 - ɛ)}^{L / 5 - 1} <= e x p {- ɛ^{- 1 / 2}}$ の確率の集合を除いて $(6 L / 5, 7 L / 5)$ は少なくとも一つの vacant site をもつ。それゆえ $ξ_{1} \cap D_{3} \neq \emptyset$ 、 ${D_{2}}_{}^{̃}$ は (1)001 or 101 (2) 001 , 011 or 110 の形の triple を得る。 (1) は $α_{5} = 1$ 、 (2) は $α_{3} = α_{6} = 1$ を適用する。すると ${D_{2}}_{}^{̃}$ が時間 2 において particle を生成することが出来ない確率は非常に小さい。よって

\begin{matrix} P (ξ_{1} \cap D_{3} \neq \emptyset, {ξ_{1}^{ξ_{1}}}_{}^{̃} \cap {D_{2}}_{}^{̃} = \emptyset) & <= & e x p {- ɛ^{- 1 / 2} / 3} + e x p {- ɛ^{- 1 / 2}} \\ <= & 2 e x p {- ɛ^{- 1 / 2} / 3} . \end{matrix}

${D_{4}}_{}^{̃}$ も同様に成り立つ。そして ${{ξ_{1}^{ξ_{1}}}_{}^{̃} \cap {D_{k}}_{}^{̃} \neq \emptyset, k = 2, 4}$ 上どちらの side でも particle を生成しない確率は $ɛ^{2}$ 以下。ゆえに

\begin{matrix} P ({F_{1}}_{}^{̃}) & <= & 4 e x p {- ɛ^{- 1 / 2} / 3} + ɛ^{2} \\ <= & η ɛ^{3 / 2} . / / \end{matrix}

第 5 章

Main Result Proposition5.1. $δ > 0$ とし、 $ɛ \equiv ɛ (δ) > 0$ を十分小さいと仮定する。 $(z, k) \in L$ に対して、もし $ξ_{k T}$ が $I_{z}$ で admissible ならば $1 - δ$ 以上の確率で $ξ_{(k + 1) T}$ は $I_{z - 1}^{r}$ , $I_{z + 1}^{l}$ の両方で admissible である。
(proof) $z = k = 0$ とする。するとこの命題は命題 3.9 と命題 4.1 から従う。 $ξ_{0}$ が $I_{0}$ で admissible ならば $ɛ$ 以下の確率で起こる $Λ$ という集合を除いて $ξ_{1}$ は $D_{3}$ の左側に制限された配列と比較できる。命題 3.9 を使うことによって、確率 $η$ で起こる事象を除いて $D_{3}$ がある時間 $τ \in [1, T + 1]$ で populate される。 algorithm をこれではじめて、命題 4.1 によって確率 $η$ で起こる集合を除いて時間 $T + 1$ まで続ける。すると例外的な集合を除いて $I_{1}^{l}$ は時間 $T + 1$ で populate する。これは $ξ_{T} \in P (I_{1}^{l})$ を表している。
その結果として $ξ_{0}$ が $I_{0}$ で admissible に対して $P (ξ_{T} が I_{1}^{l} で a d m i s s i b l e) >= 1 - ɛ - 2 η .$ $η \to 0 (ɛ \to 0)$ なので固定した $δ > 0$ に対して十分小さな $ɛ > 0$ で $ɛ + 2 η <= δ / 2$ 。
$I_{- 1}^{r}$ に対しても同様。 //
最後に主定理の証明をする。
Theorem Type(1) ルールに対して十分小さな $ɛ > 0$ で、 ${lim inf}_{n \to \infty} {min}_{∣ x ∣ < γ n} P (ξ_{n} (x) = 1 o r ξ_{n} (x + 1) = 1) > ρ$ を満たす $ρ \equiv ρ (ɛ) > 0$ と $γ \equiv γ (ɛ) > 0$ が存在する。
Type(2) ルールに対しては ${lim inf}_{n \to \infty} {min}_{∣ x ∣ < γ n} P (ξ_{n} (x) = 1) > ρ$ が同じ条件で成り立つ。
(proof) 命題 2.8 より $γ = γ_{0} / 2$ で $γ'_{0} < γ_{0}$ に対して十分小さな k と $∣ z ∣ < γ'_{0} k$ に対して確率 $ρ_{0}$ 以上で $ξ_{(k - 1) T}$ は $I_{z + 1}^{l}$ で admissible である。それゆえ、ある $x_{1} \in I_{z + 1}^{l}$ に対して $P (ξ_{N} (x_{1}) = 1) > ρ'_{0} .$ $ρ'_{0} > 0$ は $(z, k)$ に依存しない。また $N \equiv (k - 1) T + 1$ 。与えられたある時間において任意の site が値 0 をとる確率は $ɛ$ 以上なのである $ρ_{1} > 0$ に対して $P (ξ_{N} (x_{1}) = 1, ξ_{N} (x_{1} + 1) = ξ_{N} (x_{1} + 2) = 0) > ρ_{1} .$ $x_{1}$ , $x_{1} - 1$ , $x_{1} - 2$ に対しても上と同様。また条件 (c) により、 $f (1, 0, 0) = f (0, 0, 1) = 1 - ɛ$ 。それゆえ、ある $ρ_{2} \in (0, ρ_{1}]$ に対して $P (ξ_{N + 1} (x_{1} + 1) = 1, ξ_{N + 1} (x_{1} + 2) = ξ_{N + 1} (x_{1} + 3) = 0) > ρ_{2} .$ この方法を $2 T$ まで繰り返すことで結局は各 $x \in 2 z L + [- 2 L, 2 L)$ がいつも occupied または occupied site に隣り合う。よって $∣ z ∣ < γ'_{0} k$ を満たす $(z, k)$ で任意の $(x, n) \in (z, k)$ に対して $P (ξ_{n} (x) = 1 o r ξ_{n} (x + 1) = 1) > ρ_{2 T} \equiv ρ .$ $ρ$ は何も依存しないが $ɛ$ が十分小で $ρ$ も十分小。 Type(2) ルールに対しては $x$ がはじめて occupied する時間 $n'$ において確率 $ɛ^{2}$ 以上で $ξ_{n'} (x - 1) = 0, ξ_{n'} (x) = 1, ξ_{n'} (x + 1) = 0 .$ 時間 n まで x を triple の中心に指定してこれを繰り返すことで得る。 // 第 6 章ルール 90 の決定的なプロセスに対する収束定理 Deﬁnition6.1.(離散時間プロセス)
関数 $f$ は $f (0) = f (2) = 0$ , $f (1) = 1$ 。
(i) $P (x \in ξ_{n + 1} ∣ ξ_{n}) = f (∣ ξ_{n} \cap {x - 1, x + 1} ∣)$ つまり $ξ_{n + 1}$ の $x$ における値は $ξ_{n}$ の $x - 1, x, x + 1$ の値だけに依存する。
(ii) $ξ_{n}$ を与えられたときに、事象 ${x \in ξ_{n + 1}}$ 、 $x \in Z$ は独立とする。
n が偶数ならば $ξ_{n}$ は偶数整数の部分集合。
n が奇数ならば $ξ_{n}$ は奇数整数の部分集合。
Deﬁnition6.2.(open path)
$ξ_{n}^{x} = {y; (x, 0) \to (y, 0)} .$
$ξ_{n}^{A} = ⋃_{x \in A} ξ_{n}^{x} .$
これより次の展開が言える。 $ξ_{n + 1} (x) = ξ_{n} (x + 1) + ξ_{n} (x - 1) m o d 2 .$ Deﬁnition6.3.(open path の数)
$N_{n} (x)$ を $(0, 0)$ から $(x, n)$ への open path の数とする。
(i) $N_{0} (0) = 1$ , $N_{0} (x) = 1$ で初期配列を決定し、 $N_{n + 1} (x) = N_{n} (x + 1) + N_{n} (x + 1)$ とするとそのとき結果は Pascal’s triangle になる。
(ii) $ξ_{n}^{{0}} = 1$ , $ξ_{n}^{{0}} (x) = 0$ とするとそのとき、 $ξ_{n}^{{0}} (x) = N_{n} (x) m o d 2 .$ Deﬁnition6.4.(Product measure)
$ν_{θ}$ を density $θ$ の product measure とする。つまり事象 ${ξ_{0} (x) = 1}$ は独立で確率 $θ$ をもつ。
Proposition6.5. $ν_{1 / 2}$ はこのプロセスに対して定常分布である。
(proof) もし初期配列を分布 $ν_{1 / 2}$ と決めれば $P (ξ_{1} (x) = 1) = P (ξ_{0} (x + 1) + ξ_{0} (x - 1) が奇数) = 1 / 2 .$ また $ξ_{1}$ の site の独立性を調べるには $ξ_{0} (y) y <= x - 1$ の値の条件をみれば $ξ_{1} (x)$ が $ξ_{1} (y) y < x$ の独立性であることがわかる。 //
また $θ = 0 のとき、 ξ_{0} (x) \equiv 0 \Rightarrow ξ_{n} (x) \equiv 0 (f o r \forall n) .$ $θ = 1 のとき、 ξ_{0} (x) \equiv 1 \Rightarrow ξ_{n} (x) \equiv 0 (f o r \forall n >= 1) .$ よって $0 < θ < 1$ を考えていく。
Theorem. $τ^{n} ν_{θ}$ を $ν_{θ}$ からはじまるときの時間 n における分布とする。
(i) もし $θ \notin {0, 1 / 2, 1}$ ならば $τ^{n} ν_{θ}$ は収束しない。
(ii) もし $0 < θ < 1$ ならば $\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} τ^{n} ν_{θ} \Rightarrow ν_{1 / 2} (N \to \infty) .$ (proof) $ξ_{n}^{A}$ を $ξ_{0}^{A} = A$ のときの時間 n における状態とする。まず次の duality equation を証明する。 $(1) P (∣ ξ_{n}^{A} \cap B ∣ i s o d d) = P (∣ ξ_{n}^{B} \cap A ∣ i s o d d) .$ ここで A,B の少なくとも一つは有限集合。 $N_{n} (x)$ を Pascal’s triangle とする。 $N_{n}^{x} (y) = N_{n} (y - x)$ とおくことで $N_{n} (x)$ を一般化すると $N_{n}^{A} (y) = \sum_{x \in A} N_{n}^{x} (y) .$ $N_{n}^{A}$ は $A \times {0}$ から $(y, n)$ への path の数であることが分かる。もし $y \in A$ なら $ξ_{n}^{A} (y) = 1$ , $y \notin A$ なら $ξ_{n}^{A} (y) = 0$ とすると、 $ξ_{n}^{A} (y) = N_{n}^{A} (y) m o d 2 .$ よって

\begin{matrix} 1 (ξ_{n}^{A} \cap B i s o d d) & = & (\sum_{x \in B} ξ_{n}^{A} (x)) m o d 2 \\ = & (\sum_{x \in B} N_{n}^{A} (x)) m o d 2 \\ = & 1 (A \times {0} \to B \times {n} の p a t h の 数 が 奇 数) \\ = & 1 (B \times {0} \to A \times {n} の p a t h の 数 が 奇 数) \\ = & 1 (ξ_{n}^{B} \cap A i s o d d) \end{matrix}

ゆえに duality equation は成り立つ。

ξ_{n}^{θ}

を

ν_{θ}

からはじまるプロセスとする。

A = ξ_{0}^{θ}

B = {0}

で (1) を使うと次を得る。

P (0 \in ξ_{n}^{θ}) = P (∣ ξ_{n}^{{0}} \cap ξ_{n}^{θ} ∣ i s o d d) .

X_{i}

を

P (X_{i} = 1) = θ

P (X_{i} = 0) = 1 - θ

の独立な確率変数とする。

∣ ξ_{n}^{{0}} ∣ = k

とすると右辺は

X_{1} + X_{2} +,,, + X_{k}

が奇数である確率である。今、この確率を

p_{k}

とする。明らかに

p_{1} = θ

、そして

\forall k >= 1 に 対 し て p_{k + 1} = p_{k} (1 - θ) + (1 - p_{k}) θ .

p_{k + 1} - 1 / 2 = (p_{k} - 1 / 2) (1 - θ) + (1 - p_{k} - 1 / 2) θ = (p_{k} - 1 / 2) (1 - 2 θ)

. よってもし

0 < θ < 1

ならば

p_{k} \to 1 / 2 (n \to \infty) .

(i) を証明するために (2) で

n = 2^{m}

とする。

∣ ξ_{2 m}^{{0}} ∣ = 2

だから

P (0 \in ξ_{n}^{θ}) = p_{2} = 2 θ (1 - θ) .

しかし時間

n - 1

において

∣ ξ_{n}^{{0}} ∣ = 2^{m}

だから

P (0 \in ξ_{n}^{θ}) = p (2^{m}) \approx 1 / 2 (f o r 0 < θ < 1) .

よって

θ = 1 / 2 (o r 0 o r 1)

以外は収束しない。
(ii) の証明は次で与えられる

∣ ξ_{n}^{{0}} ∣

を調べることからはじめる。
1
2
2 , 4
2 , 4 , 4 , 8
2 , 4 , 4 , 8 , 4 , 8 , 8 , 16
2 , 4 , 4 , 8 , 4 , 8 , 8 , 16 , 4 , 8 , 8 , 16 , 8 , 16 , 16 , 32 ,,,
これより次がただちに従う。

\frac{1}{N} ∣ {n <= N; ∣ ξ_{n}^{{0}} <= M} ∣ \to 0 (f o r \forall < \infty) .

そして (2) を適用すると

\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} P (0 \in ξ_{n}^{θ}) \to 1 / 2 (0 < \forall θ < 1) .

{0}

を有限集合 B で置き換えて

\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} P (∣ ξ_{n}^{θ} \cap B ∣ i s o d d) \to 1 / 2 .

よって (ii) が成り立つ。 //
謝辞
最後にこの２年間、熱心な指導をしてくださり本論文を仕上げる上でもいろいろと教えてくださった指導教官の行木孝夫先生に厚く感謝申し上げます。また、資料作成に手伝ってくれた大学院生の中村君にも深く御礼申し上げます。関連図書 [1] Bramson,M.and Neuhauser,C.(1994) Survival of one-dimensional cellular automata under random perturbations. Ann. Probab.Vol.22(244-263) [2] Durrett,R.(1988) Lecture note on particle systems and percolation. Wadsworth and Brook/Cole,Pacific Grove,California. [3] Durrett,R.and Neuhauser,C.(1994) Particle systems and reacion-diffusion equations. Ann. Probab.Vol.22(289-333) [4] Grimmett,G.(1989) PERCOLATION Springer-Verlag. [5] 樋口保成.(1992) パーコレーション. 遊星社 [6] Konno,N.,Sato,K. and Sudbury,A.(2000) Lower bounds for critical values of a cancellative model. J.Phys.A;Math.Gen33(319-326) [7] 今野紀雄 (1999) ある無限粒子系の局所性と大域性. 数理科学 NO.436(37-43)