表現論セミナー 有限生成なweight sl_2(C)-加群について

開催日時
2014年   1月 29日 17時 10分 ~ 2014年   1月 29日 17時 30分
場所
理学部3-413
講演者
渡部 卓也氏(北大・理)
 
左$¥mathrm{sl}_{2}(¥mathbb{C})$-加群全体がなす圏を$¥mathrm{sl}_{2}(¥mathbb{C})$-$mod$とする.
有限生成なweight 加群からなる$¥mathrm{sl}_{2}(¥mathbb{C})$-$mod$の充満部分圏を$¥mathfrak{W}$,
$¥xi ¥in ¥mathbb{C}/2¥mathbb{Z}$に対して$¥mathfrak{W}^{¥xi}$をsupport が$¥xi$に含まれる$¥mathfrak{W}$の充満部分圏,
weight spaceが有限次元となる$¥mathfrak{W}$の充満部分圏を$¥overline{¥mathfrak{W}}$とする.
ただし,
$V ¥in ¥mathfrak{W}$に対し$V$のsupport を$¥{ ¥lambda ¥in ¥mathbb{C}|V_{¥lambda} ¥neq 0 ¥}$と定める.
さらに,
$¥xi ¥in ¥mathbb{C}/2¥mathbb{Z}$に対して$¥overline{¥mathfrak{W}}^{¥xi}=¥mathfrak{W}^{¥xi} ¥cap ¥overline{¥mathfrak{W}}$,
$M ¥in ¥overline{¥mathfrak{W}}^{¥xi}$に対してある$¥tau ¥in ¥mathbb{C}$が存在して
$M=M(¥tau)$
となる$M$からなる$¥overline{¥mathfrak{W}}^{¥xi}$の充満部分圏を$¥overline{¥mathfrak{W}}^{¥xi,¥tau}$とする.
ここで,
¥begin{eqnarray*}
&M(¥tau)=¥bigoplus_{¥lambda ¥in ¥mathbb{C}}M_{¥lambda}(¥tau), ¥¥
&M_{¥lambda}(¥tau)=¥{v ¥in M_{¥lambda}|(C-¥tau)^{k}(v)=0 ¥mbox{¥ for some¥ } k ¥in ¥mathbb{N} ¥}.
¥end{eqnarray*}
このとき,
¥begin{equation*}
¥overline{¥mathfrak{W}}=¥bigoplus_{¥xi ¥in ¥mathbb{C}/2¥mathbb{Z}}¥overline{¥mathfrak{W}}^{¥xi}=¥bigoplus_{¥xi ¥in ¥mathbb{C}/2¥mathbb{Z}}¥bigoplus_{¥tau ¥in ¥mathbb{C}}¥overline{¥mathfrak{W}}^{¥xi,¥tau},
¥end{equation*}
となり,
各$¥overline{¥mathfrak{W}}^{¥xi,¥tau}$は$¥tau$の条件によりsimple objectの個数で分類される.

次が本講演の主定理である.
¥begin{Thm}
simple objectが$1$つの場合,
$¥mathbb{C}[[x]]$をべき級数全体のなす代数とし,
有限次元$¥mathbb{C}[[x]]$-加群全体のなす圏を$¥mathbb{C}[[x]]$-$mod$とする.
このとき,
$¥overline{¥mathfrak{W}}^{¥xi,¥tau}$は$¥mathbb{C}[[x]]$-$mod$と圏同値である.
¥end{Thm}


関連項目

研究集会・セミナー・集中講義の一覧へ