幾何学コロキウム: 共形擬サブリーマン基本階別リー環および pseudo $H$-type Lie algebra について(八ッ井智章 氏, 北海道大学)

開催日時
2018年   7月 20日 16時 30分 ~   18時 00分
場所
理学部3号館3-204室
講演者
八ッ井智章 (北海道大学)
 
微分式系 $(M, D)$ の幾何学に於いて, 微分式系 $D$ 上にリーマン計量 $\tau$ があるとき $(M, D, \tau )$はサブリーマン多様体と呼ばれる. これの一般化の一つの方向として, $\tau$ を擬リーマン計量 $\tau$ に替えることが考えられる.
一方で, $D$ 上にリーマン計量 $\tau$ をその共形類 $[\tau ]$ に置き換えることを考えると, $(M, D, [\tau ])$ は, 共形サブリーマン多様体 (またはサブ共形多様体) と呼ばれる. これの一般化として, $\tau$ を擬リーマン計量 $\tau$ に替えると, $(M, D, [\tau ])$ は, 共形擬サブリーマン多様体と呼ばれる. 以下では $D$ が完全積分可能である場合を除外する. 共形擬サブリーマン多様体 $(M, D, [\tau ])$ に於いて, $D$ に正則性と bracket-generating という条件を仮定すると, $M$ の各点 x に対して, 表象代数と呼ばれる 基本階別リー環 (FGLA) $\displaystyle \mathfrak{m}(x) = \bigoplus_{p<0} \mathfrak{g}_p (x)$ が定義され, 対$(\mathfrak{m}(x), [\tau_x ])$ は共形擬サブリーマン基本階別リー環(conformal pseudo-subriemannian FGLA(CPFGLA)) となる (深さ 2 以上の FGLA $\displaystyle \mathfrak{m} =\bigoplus_{p<0} \mathfrak{g}_p$ と $\mathfrak{g}_{−1}$ 上の非退化対称双一次形式 $g$ に対して, 対 $(\mathfrak{m}, [g])$ を CPGLA と呼ぶ). CPFGLA の代数的延長 (Tanaka prolongation) を調べることが共形擬サブリーマン多様体の同値問題の考察の第一歩となる.CPFGLA $(\mathfrak{m}, [g])$ の延長 $\displaystyle \mathfrak{g} =\bigoplus_{p\in\mathbb{Z}} \mathfrak{g}_p$ は, 有限次元となる. さらに $g$ が正値であり $\mathfrak{g}_1 \ne 0$ であるときには, $\mathfrak{g}$ は実階数 $1$ の実単純リー環となることが知られている. しかし, $g$ の符号数を一般にすると $\mathfrak{g}_1 \ne 0$かつ $\mathfrak{g}$ が半単純でない例が存在する. そこで, 延長が半単純である CPFGLA の分類を試みる. さらに CPFGLA と pseudo $H$-type Lie algebra との関連性について述べたいと思う.

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関連項目
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